Παρουσιάζεται η απόδειξη και η εξαγωγή του τύπου για το συνημιτονικό παράγωγο - cos(x). Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων των cos 2x, cos 3x, cos nx, συνημιτόνου στο τετράγωνο, σε κύβους και στη δύναμη του n. Ο τύπος για την παράγωγο του συνημιτόνου της νης τάξης.
ΠεριεχόμενοΔείτε επίσης: Ημίτονο και συνημίτονο - ιδιότητες, γραφήματα, τύποι
Η παράγωγος ως προς τη μεταβλητή x του συνημιτόνου του x είναι ίση με μείον το ημίτονο του x:
(cos x)′ = - αμαρτία x.
Απόδειξη
Για να εξαγάγουμε τον τύπο για την παράγωγο συνημιτόνου, χρησιμοποιούμε τον ορισμό της παραγώγου:
.
Ας μετατρέψουμε αυτήν την έκφραση για να την αναγάγουμε σε γνωστούς μαθηματικούς νόμους και κανόνες. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γνωρίζουμε τέσσερις ιδιότητες.
1)
Τριγωνομετρικοί τύποι. Χρειαζόμαστε τον ακόλουθο τύπο:
(1)
;
2)
Η ιδιότητα συνέχειας της συνάρτησης ημιτόνου:
(2)
;
3)
Η έννοια του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου:
(3)
;
4)
Η οριακή ιδιότητα του γινομένου δύο συναρτήσεων:
Αν και τότε
(4)
.
Εφαρμόζουμε αυτούς τους νόμους στα όριά μας. Πρώτα μετασχηματίζουμε την αλγεβρική έκφραση
.
Για αυτό εφαρμόζουμε τον τύπο
(1)
;
Στην περίπτωσή μας
; . Επειτα
;
;
;
.
Ας κάνουμε μια αντικατάσταση. Στο , . Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα συνέχειας (2):
.
Κάνουμε την ίδια αντικατάσταση και εφαρμόζουμε το πρώτο αξιοσημείωτο όριο (3):
.
Εφόσον υπάρχουν τα όρια που υπολογίστηκαν παραπάνω, εφαρμόζουμε την ιδιότητα (4):
.
Έτσι, λάβαμε τον τύπο για την παράγωγο του συνημιτόνου.
Παραδείγματα
Εξετάστε απλά παραδείγματα εύρεσης παραγώγων συναρτήσεων που περιέχουν συνημίτονο. Ας βρούμε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων:
y = cos2x; y = cos 3x; y = cos nx; y= cos 2 x; y= cos 3 xκαι y= cos n x.
Παράδειγμα 1
Βρείτε τα παράγωγα του cos 2x, cos 3xκαι cos nx.
Οι αρχικές συναρτήσεις έχουν παρόμοια μορφή. Επομένως, θα βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης y = cos nx. Στη συνέχεια, ως παράγωγο του cos nx, αντικαταστήστε n = 2 και n = 3 . Και, έτσι, λαμβάνουμε τύπους για παράγωγα του cos 2xκαι cos 3x .
Άρα, βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης
y = cos nx
.
Ας αναπαραστήσουμε αυτή τη συνάρτηση της μεταβλητής x ως σύνθετη συνάρτηση που αποτελείται από δύο συναρτήσεις:
1)
2)
Τότε η αρχική συνάρτηση είναι μια σύνθετη (σύνθετη) συνάρτηση που αποτελείται από τις συναρτήσεις και :
.
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή x:
.
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή:
.
Εμείς κάνουμε αίτηση.
.
Αντικαταστάτης:
(P1) .
Τώρα, στον τύπο (P1) αντικαθιστούμε και :
;
.
;
;
.
Παράδειγμα 2
Βρείτε τις παραγώγους του συνημιτόνου στο τετράγωνο, του συνημιτόνου σε κυβισμό και του συνημιτόνου υψωμένου στη δύναμη του n:
y= cos 2 x; y= cos 3 x; y= cos n x.
Σε αυτό το παράδειγμα, οι συναρτήσεις έχουν επίσης παρόμοια εμφάνιση. Επομένως, θα βρούμε την παράγωγο της πιο γενικής συνάρτησης - το συνημίτονο στη δύναμη του n:
y= cos n x.
Στη συνέχεια αντικαθιστούμε n = 2 και n = 3 . Και, έτσι, λαμβάνουμε τύπους για τις παραγώγους του συνημιτόνου σε τετράγωνο και συνημιτόνου σε κύβους.
Άρα, πρέπει να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης
.
Ας το ξαναγράψουμε με πιο κατανοητή μορφή:
.
Ας αναπαραστήσουμε αυτή τη συνάρτηση ως μια σύνθετη συνάρτηση που αποτελείται από δύο συναρτήσεις:
1)
Μεταβλητές εξαρτώμενες συναρτήσεις : ;
2)
Μεταβλητές εξαρτημένες συναρτήσεις : .
Τότε η αρχική συνάρτηση είναι μια σύνθετη συνάρτηση που αποτελείται από δύο συναρτήσεις και:
.
Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή x:
.
Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή:
.
Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης.
.
Αντικαταστάτης:
(P2) .
Τώρα ας αντικαταστήσουμε και:
;
.
;
;
.
Παράγωγα υψηλότερων τάξεων
Σημειώστε ότι η παράγωγος του cos xτης πρώτης τάξης μπορεί να εκφραστεί ως συνημίτονο ως εξής:
.
Ας βρούμε την παράγωγο δεύτερης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης:
.
Εδώ .
Σημειώστε αυτή τη διαφοροποίηση cos xπροκαλεί το επιχείρημά του να αυξάνεται κατά . Τότε η παράγωγος της νης τάξης έχει τη μορφή:
(5)
.
Αυτός ο τύπος μπορεί να αποδειχθεί πιο αυστηρά χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Η απόδειξη για την nη παράγωγο του ημιτονοειδούς δίνεται στη σελίδα «Παράγωγος του ημιτόνου». Για την ντη παράγωγο του συνημιτόνου, η απόδειξη είναι ακριβώς η ίδια. Απαιτείται μόνο η αντικατάσταση της αμαρτίας με το cos σε όλους τους τύπους.
Δείτε επίσης: Υπολογισμός παραγώγουείναι μια από τις πιο σημαντικές πράξεις στον διαφορικό λογισμό. Παρακάτω είναι ένας πίνακας για την εύρεση παραγώγων απλών συναρτήσεων. Για πιο σύνθετους κανόνες διαφοροποίησης, δείτε άλλα μαθήματα:- Πίνακας παραγώγων εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων
Παράγωγοι απλών συναρτήσεων
1. Η παράγωγος ενός αριθμού είναι μηδένσ´ = 0
Παράδειγμα:
5' = 0
Εξήγηση:
Η παράγωγος δείχνει τον ρυθμό με τον οποίο αλλάζει η τιμή της συνάρτησης όταν αλλάζει το όρισμα. Εφόσον ο αριθμός δεν αλλάζει με κανέναν τρόπο υπό οποιεσδήποτε συνθήκες, ο ρυθμός μεταβολής του είναι πάντα μηδενικός.
2. Παράγωγο μεταβλητήςίσο με ένα
x' = 1
Εξήγηση:
Με κάθε αύξηση του ορίσματος (x) κατά ένα, η τιμή της συνάρτησης (αποτέλεσμα υπολογισμού) αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό. Έτσι, ο ρυθμός μεταβολής της τιμής της συνάρτησης y = x είναι ακριβώς ίσος με τον ρυθμό μεταβολής της τιμής του ορίσματος.
3. Η παράγωγος μιας μεταβλητής και ενός παράγοντα ισούται με αυτόν τον παράγοντα
сx´ = σ
Παράδειγμα:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Εξήγηση:
Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε φορά το όρισμα συνάρτησης ( Χ) η τιμή του (y) μεγαλώνει Μεμια φορά. Έτσι, ο ρυθμός μεταβολής της τιμής της συνάρτησης σε σχέση με τον ρυθμό μεταβολής του ορίσματος είναι ακριβώς ίσος με την τιμή Με.
Από όπου προκύπτει ότι
(cx + b)" = γ
δηλαδή το διαφορικό της γραμμικής συνάρτησης y=kx+b ισούται με την κλίση της ευθείας (k).
4. Modulo παράγωγο μιας μεταβλητήςισούται με το πηλίκο αυτής της μεταβλητής προς το μέτρο της
|x|"= x / |x| με την προϋπόθεση ότι x ≠ 0
Εξήγηση:
Δεδομένου ότι η παράγωγος της μεταβλητής (βλ. τύπο 2) είναι ίση με ένα, η παράγωγος της ενότητας διαφέρει μόνο στο ότι η τιμή του ρυθμού αλλαγής της συνάρτησης αλλάζει προς το αντίθετο κατά τη διέλευση του σημείου προέλευσης (δοκιμάστε να σχεδιάσετε ένα γράφημα της συνάρτησης y = |x| και δείτε μόνοι σας Αυτή είναι ακριβώς η τιμή και επιστρέφει την παράσταση x / |x| Όταν x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - ένα. Δηλαδή, με αρνητικές τιμές της μεταβλητής x, με κάθε αύξηση της αλλαγής στο όρισμα, η τιμή της συνάρτησης μειώνεται κατά την ίδια ακριβώς τιμή και με θετικές τιμές, αντίθετα, αυξάνεται, αλλά ακριβώς κατά την ίδια τιμή.
5. Παράγωγος ισχύος μιας μεταβλητήςισούται με το γινόμενο του αριθμού αυτής της ισχύος και της μεταβλητής της ισχύος, μειωμένο κατά ένα
(x c)"= cx c-1, με την προϋπόθεση ότι ορίζονται x c και cx c-1 και c ≠ 0
Παράδειγμα:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Για να απομνημονεύσετε τον τύπο:
Πάρτε τον εκθέτη της μεταβλητής "κάτω" ως πολλαπλασιαστή και στη συνέχεια μειώστε τον ίδιο τον εκθέτη κατά ένα. Για παράδειγμα, για το x 2 - δύο ήταν μπροστά από το x, και στη συνέχεια η μειωμένη ισχύς (2-1 = 1) μας έδωσε μόλις 2x. Το ίδιο έγινε και για το x 3 - κατεβάζουμε το τριπλό, το μειώνουμε κατά ένα και αντί για κύβο έχουμε ένα τετράγωνο, δηλαδή 3x 2 . Λίγο «αντιεπιστημονικό», αλλά πολύ εύκολο να το θυμάστε.
6.Κλάσμα παράγωγο 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Παράδειγμα:
Δεδομένου ότι ένα κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως αύξηση σε αρνητική ισχύ
(1/x)" = (x -1)" , τότε μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο από τον κανόνα 5 του πίνακα παραγώγων
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Κλάσμα παράγωγο με μεταβλητή αυθαίρετου βαθμούστον παρονομαστή
(1/x γ)" = - c / x c+1
Παράδειγμα:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. ριζικό παράγωγο(παράγωγο μεταβλητής κάτω από τετραγωνική ρίζα)
(√x)" = 1 / (2√x)ή 1/2 x -1/2
Παράδειγμα:
(√x)" = (x 1/2)" ώστε να μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο από τον κανόνα 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Παράγωγο μεταβλητής κάτω από ρίζα αυθαίρετου βαθμού
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
Ο υπολογισμός της παραγώγου βρίσκεται συχνά σε αναθέσεις USE. Αυτή η σελίδα περιέχει μια λίστα τύπων για την εύρεση παραγώγων.
Κανόνες διαφοροποίησης
- (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
- (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
- Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης. Αν y=F(u) και u=u(x), τότε η συνάρτηση y=f(x)=F(u(x)) ονομάζεται μιγαδική συνάρτηση του x. Ισούται με y′(x)=Fu′⋅ ux′.
- Παράγωγο άρρητης συνάρτησης. Η συνάρτηση y=f(x) ονομάζεται άρρητη συνάρτηση που δίνεται από τη σχέση F(x,y)=0 αν F(x,f(x))≡0.
- Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης. Αν g(f(x))=x, τότε η συνάρτηση g(x) ονομάζεται αντίστροφη συνάρτηση για τη συνάρτηση y=f(x).
- Παράγωγος παραμετρικά δεδομένης συνάρτησης. Έστω x και y ως συναρτήσεις της μεταβλητής t: x=x(t), y=y(t). Λέγεται ότι η y=y(x) είναι μια παραμετρικά καθορισμένη συνάρτηση στο διάστημα x∈ (a;b) αν σε αυτό το διάστημα η εξίσωση x=x(t) μπορεί να εκφραστεί ως t=t(x) και η συνάρτηση y=y( t(x))=y(x).
- Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης. Βρίσκεται παίρνοντας τον λογάριθμο στη βάση του φυσικού λογάριθμου.
Παρουσιάζεται η απόδειξη και η παραγωγή του τύπου για την παράγωγο του ημιτονοειδούς - sin (x). Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων αμαρτίας 2x, ημιτόνου στο τετράγωνο και σε κύβους. Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο του ημιτόνου νης τάξης.
ΠεριεχόμενοΔείτε επίσης: Ημίτονο και συνημίτονο - ιδιότητες, γραφήματα, τύποι
Η παράγωγος ως προς τη μεταβλητή x του ημιτόνου του x είναι ίση με το συνημίτονο του x:
(sin x)′ = cos x.
Απόδειξη
Για να εξαγάγουμε τον τύπο για την παράγωγο του ημιτονοειδούς, θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της παραγώγου:
.
Για να βρούμε αυτό το όριο, πρέπει να μετασχηματίσουμε την έκφραση με τέτοιο τρόπο ώστε να τη μειώσουμε σε γνωστούς νόμους, ιδιότητες και κανόνες. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γνωρίζουμε τέσσερις ιδιότητες.
1)
Έννοια του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου:
(1)
;
2)
Συνέχεια της συνημίτονος:
(2)
;
3)
Τριγωνομετρικοί τύποι. Χρειαζόμαστε τον ακόλουθο τύπο:
(3)
;
4)
Αριθμητικές ιδιότητες του ορίου συνάρτησης:
Αν και τότε
(4)
.
Εφαρμόζουμε αυτούς τους κανόνες στα όριά μας. Πρώτα μετασχηματίζουμε την αλγεβρική έκφραση
.
Για αυτό εφαρμόζουμε τον τύπο
(3)
.
Στην περίπτωσή μας
; . Επειτα
;
;
;
.
Τώρα ας κάνουμε μια αντικατάσταση. Στο , . Ας εφαρμόσουμε το πρώτο αξιοσημείωτο όριο (1):
.
Κάνουμε την ίδια αντικατάσταση και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα συνέχειας (2):
.
Εφόσον υπάρχουν τα όρια που υπολογίστηκαν παραπάνω, εφαρμόζουμε την ιδιότητα (4):
.
Ο τύπος για την παράγωγο του ημιτόνου έχει αποδειχθεί.
Παραδείγματα
Εξετάστε απλά παραδείγματα εύρεσης παραγώγων συναρτήσεων που περιέχουν ένα ημίτονο. Θα βρούμε παράγωγα των παρακάτω συναρτήσεων:
y=sin2x; y= sin2xκαι y= sin3x.
Παράδειγμα 1
Βρείτε την παράγωγο του αμαρτία 2x.
Πρώτα βρίσκουμε την παράγωγο του απλούστερου μέρους:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Εμείς κάνουμε αίτηση.
.
Εδώ .
(αμαρτία 2x)′ = 2 συν 2χ.
Παράδειγμα 2
Βρείτε την παράγωγο του τετραγώνου ημιτόνου:
y= sin2x.
Ας ξαναγράψουμε την αρχική συνάρτηση με πιο κατανοητή μορφή:
.
Βρείτε την παράγωγο του απλούστερου μέρους:
.
Εφαρμόζουμε τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.
.
Εδώ .
Μπορεί να εφαρμοστεί ένας από τους τύπους τριγωνομετρίας. Επειτα
.
Παράδειγμα 3
Βρείτε την παράγωγο του ημιτόνου σε κυβισμό:
y= sin3x.
Παράγωγα υψηλότερων τάξεων
Σημειώστε ότι η παράγωγος του αμαρτία xτης πρώτης τάξης μπορεί να εκφραστεί ως ημιτονοειδής ως εξής:
.
Ας βρούμε την παράγωγο δεύτερης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης:
.
Εδώ .
Τώρα μπορούμε να δούμε ότι η διαφοροποίηση αμαρτία xπροκαλεί το επιχείρημά του να αυξάνεται κατά . Τότε η παράγωγος της νης τάξης έχει τη μορφή:
(5)
.
Ας το αποδείξουμε αυτό εφαρμόζοντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Έχουμε ήδη ελέγξει ότι για , ο τύπος (5) είναι έγκυρος.
Ας υποθέσουμε ότι ο τύπος (5) ισχύει για κάποια τιμή του . Ας αποδείξουμε ότι από αυτό προκύπτει ότι ο τύπος (5) ισχύει για .
Γράφουμε τον τύπο (5) για:
.
Διαφοροποιούμε αυτή την εξίσωση εφαρμόζοντας τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης:
.
Εδώ .
Βρήκαμε λοιπόν:
.
Αν αντικαταστήσουμε το , τότε αυτός ο τύπος παίρνει τη μορφή (5).
Η φόρμουλα έχει αποδειχθεί.
Δείτε επίσης:Ημερομηνία: 20/11/2014
Τι είναι ένα παράγωγο;
Πίνακας παραγώγων.
Η παράγωγος είναι μια από τις κύριες έννοιες των ανώτερων μαθηματικών. Σε αυτό το μάθημα, θα εισαγάγουμε αυτήν την έννοια. Ας γνωριστούμε, χωρίς αυστηρές μαθηματικές διατυπώσεις και αποδείξεις.
Αυτή η εισαγωγή θα σας επιτρέψει να:
Κατανοήστε την ουσία των απλών εργασιών με παράγωγο.
Επιλύστε με επιτυχία αυτές τις πολύ απλές εργασίες.
Προετοιμαστείτε για πιο σοβαρά μαθήματα παραγώγων.
Πρώτον, μια ευχάριστη έκπληξη.
Ο αυστηρός ορισμός της παραγώγου βασίζεται στη θεωρία των ορίων και το πράγμα είναι μάλλον περίπλοκο. Είναι αναστατωμένο. Αλλά η πρακτική εφαρμογή του παραγώγου, κατά κανόνα, δεν απαιτεί τόσο εκτεταμένη και βαθιά γνώση!
Για να ολοκληρώσετε με επιτυχία τις περισσότερες εργασίες στο σχολείο και στο πανεπιστήμιο, αρκεί να γνωρίζετε μόνο μερικούς όρους- να κατανοήσουν την εργασία, και μόνο μερικοί κανόνες- να το λύσω. Και αυτό είναι όλο. Αυτό με κάνει χαρούμενο.
Θα γνωριστούμε;)
Όροι και ονομασίες.
Υπάρχουν πολλές μαθηματικές πράξεις στα στοιχειώδη μαθηματικά. Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, εκθετικότητα, λογάριθμος κ.λπ. Εάν προστεθεί μία ακόμη πράξη σε αυτές τις πράξεις, τα στοιχειώδη μαθηματικά γίνονται υψηλότερα. Αυτή η νέα λειτουργία ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση.Ο ορισμός και η έννοια αυτής της λειτουργίας θα συζητηθούν σε ξεχωριστά μαθήματα.
Εδώ είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι η διαφοροποίηση είναι απλώς μια μαθηματική πράξη σε μια συνάρτηση. Παίρνουμε οποιαδήποτε συνάρτηση και, σύμφωνα με ορισμένους κανόνες, τη μετατρέπουμε. Το αποτέλεσμα είναι μια νέα λειτουργία. Αυτή η νέα συνάρτηση ονομάζεται: παράγωγο.
ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση- δράση σε μια λειτουργία.
Παράγωγοείναι το αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας.
Όπως, για παράδειγμα, άθροισμαείναι το αποτέλεσμα της προσθήκης. Ή ιδιωτικόςείναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης.
Γνωρίζοντας τους όρους, μπορείτε τουλάχιστον να κατανοήσετε τις εργασίες.) Η διατύπωση είναι η εξής: Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης. πάρε το παράγωγο? διαφοροποίηση της συνάρτησης. υπολογισμός παραγώγουκαι τα λοιπά. Είναι όλο ίδιο.Φυσικά, υπάρχουν πιο σύνθετες εργασίες, όπου η εύρεση της παραγώγου (διαφοροποίηση) θα είναι μόνο ένα από τα βήματα για την επίλυση της εργασίας.
Η παράγωγος συμβολίζεται με μια παύλα πάνω δεξιά πάνω από τη συνάρτηση. Σαν αυτό: y"ή f"(x)ή S"(t)και ούτω καθεξής.
ανάγνωση y εγκεφαλικό, ef εγκεφαλικό από x, es εγκεφαλικό από te,καλά κατάλαβες...)
Ένας πρώτος μπορεί επίσης να υποδηλώνει την παράγωγο μιας συγκεκριμένης συνάρτησης, για παράδειγμα: (2x+3)", (Χ 3 )" , (sinx)"και τα λοιπά. Συχνά η παράγωγος συμβολίζεται με διαφορικά, αλλά δεν θα εξετάσουμε έναν τέτοιο συμβολισμό σε αυτό το μάθημα.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μάθει να κατανοούμε τις εργασίες. Δεν μένει τίποτα - για να μάθουμε πώς να τα λύσουμε.) Να σας υπενθυμίσω ξανά: η εύρεση της παραγώγου είναι μετασχηματισμός μιας συνάρτησης σύμφωνα με ορισμένους κανόνες.Αυτοί οι κανόνες είναι εκπληκτικά λίγοι.
Για να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, χρειάζεται μόνο να γνωρίζετε τρία πράγματα. Τρεις πυλώνες στους οποίους στηρίζεται κάθε διαφοροποίηση. Εδώ είναι οι τρεις φάλαινες:
1. Πίνακας παραγώγων (τύποι διαφοροποίησης).
3. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.
Ας ξεκινήσουμε με τη σειρά. Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε τον πίνακα των παραγώγων.
Πίνακας παραγώγων.
Ο κόσμος έχει άπειρο αριθμό λειτουργιών. Μεταξύ αυτού του σετ υπάρχουν λειτουργίες που είναι πιο σημαντικές για πρακτική εφαρμογή. Αυτές οι λειτουργίες βρίσκονται σε όλους τους νόμους της φύσης. Από αυτές τις λειτουργίες, όπως και από τούβλα, μπορείτε να κατασκευάσετε όλες τις άλλες. Αυτή η κατηγορία συναρτήσεων ονομάζεται στοιχειώδεις λειτουργίες.Είναι αυτές οι συναρτήσεις που μελετώνται στο σχολείο - γραμμικές, τετραγωνικές, υπερβολές κ.λπ.
Διαφοροποίηση συναρτήσεων «από την αρχή», π.χ. με βάση τον ορισμό της παραγώγου και τη θεωρία των ορίων - πράγμα μάλλον χρονοβόρο. Και οι μαθηματικοί είναι άνθρωποι, ναι, ναι!) Απλοποίησαν λοιπόν τη ζωή τους (και εμάς). Υπολόγισαν παραγώγους στοιχειωδών συναρτήσεων πριν από εμάς. Το αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας παραγώγων, όπου όλα είναι έτοιμα.)
Εδώ είναι, αυτό το πιάτο για τις πιο δημοφιλείς λειτουργίες. Αριστερά - στοιχειώδης συνάρτηση, δεξιά - παράγωγός της.
Λειτουργία y |
Παράγωγος συνάρτησης y y" |
|
1 | C (σταθερά) | C" = 0 |
2 | Χ | x" = 1 |
3 | x n (n είναι οποιοσδήποτε αριθμός) | (x n)" = nx n-1 |
x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
4 | αμαρτία x | (sinx)" = cosx |
cos x | (cos x)" = - αμαρτία x | |
tg x | ||
ctg x | ||
5 | arcsin x | |
arccos x | ||
arctg x | ||
arcctg x | ||
4 | έναΧ | |
μιΧ | ||
5 | κούτσουρο έναΧ | |
ln x ( α = ε) |
Συνιστώ να δώσετε προσοχή στην τρίτη ομάδα συναρτήσεων σε αυτόν τον πίνακα παραγώγων. Η παράγωγος μιας συνάρτησης ισχύος είναι ένας από τους πιο συνηθισμένους τύπους, αν όχι ο πιο συνηθισμένος! Είναι σαφής η υπόδειξη;) Ναι, είναι επιθυμητό να γνωρίζετε τον πίνακα των παραγώγων από την καρδιά. Παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι τόσο δύσκολο όσο μπορεί να φαίνεται. Προσπαθήστε να λύσετε περισσότερα παραδείγματα, ο ίδιος ο πίνακας θα θυμάται!)
Η εύρεση της πινακοποιημένης τιμής της παραγώγου, όπως καταλαβαίνετε, δεν είναι η πιο δύσκολη δουλειά. Επομένως, πολύ συχνά σε τέτοιες εργασίες υπάρχουν πρόσθετες μάρκες. Είτε στη διατύπωση της εργασίας, είτε στην αρχική συνάρτηση, η οποία δεν φαίνεται να υπάρχει στον πίνακα ...
Ας δούμε μερικά παραδείγματα:
1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = x 3
Δεν υπάρχει τέτοια λειτουργία στον πίνακα. Υπάρχει όμως μια γενική παράγωγος της συνάρτησης ισχύος (τρίτη ομάδα). Στην περίπτωσή μας, n=3. Αντικαθιστούμε λοιπόν το τριπλό αντί για n και γράφουμε προσεκτικά το αποτέλεσμα:
(Χ 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό.
Απάντηση: y" = 3x 2
2. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης y = sinx στο σημείο x = 0.
Αυτή η εργασία σημαίνει ότι πρέπει πρώτα να βρείτε την παράγωγο του ημιτόνου και μετά να αντικαταστήσετε την τιμή x = 0σε αυτήν την ίδια παράγωγο. Είναι με αυτή τη σειρά!Διαφορετικά, συμβαίνει να αντικαταστήσουν αμέσως το μηδέν στην αρχική συνάρτηση ... Μας ζητείται να βρούμε όχι την τιμή της αρχικής συνάρτησης, αλλά την τιμή το παράγωγό του.Η παράγωγος, να σας υπενθυμίσω, είναι ήδη μια νέα συνάρτηση.
Στην πλάκα βρίσκουμε το ημίτονο και την αντίστοιχη παράγωγο:
y" = (sinx)" = cosx
Αντικαταστήστε το μηδέν στην παράγωγο:
y"(0) = cos 0 = 1
Αυτή θα είναι η απάντηση.
3. Διαφοροποιήστε τη συνάρτηση:
Τι εμπνέει;) Δεν υπάρχει καν τέτοια συνάρτηση στον πίνακα των παραγώγων.
Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για να διαφοροποιήσετε μια συνάρτηση είναι απλώς να βρείτε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης. Εάν ξεχάσετε τη στοιχειώδη τριγωνομετρία, η εύρεση της παραγώγου της συνάρτησής μας είναι αρκετά ενοχλητική. Το τραπέζι δεν βοηθάει...
Αν όμως δούμε ότι η λειτουργία μας είναι συνημίτονο διπλής γωνίας, τότε όλα γίνονται αμέσως καλύτερα!
Ναι ναι! Θυμηθείτε ότι ο μετασχηματισμός της αρχικής συνάρτησης πριν από τη διαφοροποίησηαρκετά αποδεκτό! Και συμβαίνει να κάνει τη ζωή πολύ πιο εύκολη. Σύμφωνα με τον τύπο για το συνημίτονο διπλής γωνίας:
Εκείνοι. η δύσκολη λειτουργία μας δεν είναι παρά y = κοκ. Και αυτή είναι μια συνάρτηση πίνακα. Λαμβάνουμε αμέσως:
Απάντηση: y" = - αμαρτία x.
Παράδειγμα για προχωρημένους πτυχιούχους και φοιτητές:
4. Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:
Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση στον πίνακα παραγώγων, φυσικά. Αλλά αν θυμάστε στοιχειώδη μαθηματικά, ενέργειες με δυνάμεις... Τότε είναι πολύ πιθανό να απλοποιήσετε αυτή τη συνάρτηση. Σαν αυτό:
Και το x στη δύναμη του ενός δέκατου είναι ήδη μια συνάρτηση πίνακα! Η τρίτη ομάδα, n=1/10. Απευθείας σύμφωνα με τον τύπο και γράψτε:
Αυτό είναι όλο. Αυτή θα είναι η απάντηση.
Ελπίζω ότι με την πρώτη φάλαινα της διαφοροποίησης - τον πίνακα των παραγώγων - όλα είναι ξεκάθαρα. Μένει να ασχοληθούμε με τις δύο εναπομείνασες φάλαινες. Στο επόμενο μάθημα, θα μάθουμε τους κανόνες της διαφοροποίησης.