Pateikiamas kosinuso išvestinės - cos(x) formulės įrodymas ir išvedimas. Cos 2x, cos 3x, cos nx, kosinuso kvadratu, kubu ir n laipsniu išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai. N-osios eilės kosinuso išvestinės formulė.
TurinysTaip pat žiūrėkite: Sinusas ir kosinusas – savybės, grafikai, formulės
Išvestinė x kosinuso kintamojo x atžvilgiu yra lygi minus x sinusui:
(cos x)′ = - sin x.
Įrodymas
Norėdami gauti kosinuso išvestinės formulę, naudojame išvestinės apibrėžimą:
.
Transformuokime šią išraišką, kad sumažintume ją iki žinomų matematinių dėsnių ir taisyklių. Norėdami tai padaryti, turime žinoti keturias savybes.
1)
Trigonometrinės formulės. Mums reikia šios formulės:
(1)
;
2)
Sinuso funkcijos tęstinumo savybė:
(2)
;
3)
Pirmosios ypatingos ribos reikšmė:
(3)
;
4)
Dviejų funkcijų sandaugos ribinė savybė:
Jei ir tada
(4)
.
Šiuos įstatymus taikome iki galo. Pirmiausia transformuojame algebrinę išraišką
.
Tam taikome formulę
(1)
;
Mūsų atveju
; . Tada
;
;
;
.
Padarykime pakaitalą. adresu , . Mes naudojame tęstinumo savybę (2):
.
Atliekame tą patį pakeitimą ir pritaikome pirmą reikšmingą ribą (3):
.
Kadangi egzistuoja aukščiau apskaičiuotos ribos, taikome savybę (4):
.
Taigi mes gavome kosinuso išvestinės formulę.
Pavyzdžiai
Apsvarstykite paprastus pavyzdžius, kaip rasti funkcijų, turinčių kosinusą, išvestinių. Raskime šių funkcijų išvestinius:
y = cos2x; y = cos 3x; y = cos nx; y= cos 2x; y= cos 3x ir y= cos n x.
1 pavyzdys
Rasti išvestinius iš cos 2x, nes 3x ir cos nx.
Originalios funkcijos turi panašią formą. Todėl rasime funkcijos išvestinę y = cos nx. Tada kaip darinys iš cos nx, pakaitalas n = 2 ir n = 3 . Ir taip gauname išvestinių formules nes 2x ir nes 3x .
Taigi, randame funkcijos išvestinę
y = cos nx
.
Pavaizduokime šią kintamojo x funkciją kaip sudėtingą funkciją, susidedančią iš dviejų funkcijų:
1)
2)
Tada pradinė funkcija yra sudėtinga (sudėtinė) funkcija, sudaryta iš funkcijų ir:
.
Raskime funkcijos išvestinę kintamojo x atžvilgiu:
.
Raskime funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu:
.
Mes taikome.
.
Pakaitalas:
(P1) .
Dabar formulėje (P1) pakeičiame ir:
;
.
;
;
.
2 pavyzdys
Raskite kosinuso kvadrato, kosinuso kubo ir kosinuso, pakelto iki n laipsnio, išvestines:
y= cos 2x; y= cos 3x; y= cos n x.
Šiame pavyzdyje funkcijos taip pat atrodo panašiai. Todėl rasime bendriausios funkcijos išvestinę – kosinusą laipsniui n:
y= cos n x.
Tada pakeičiame n = 2 ir n = 3 . Taigi gauname kosinuso kvadrato ir kosinuso kubo išvestinių formules.
Taigi, turime rasti funkcijos išvestinę
.
Perrašykime jį suprantamesne forma:
.
Pavaizduokime šią funkciją kaip sudėtingą funkciją, susidedančią iš dviejų funkcijų:
1)
Nuo kintamųjų priklausomos funkcijos: ;
2)
Nuo kintamųjų priklausomos funkcijos: .
Tada pradinė funkcija yra sudėtinga funkcija, sudaryta iš dviejų funkcijų ir:
.
Randame funkcijos išvestinę kintamojo x atžvilgiu:
.
Randame funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu:
.
Taikome kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę.
.
Pakaitalas:
(P2) .
Dabar pakeiskime ir:
;
.
;
;
.
Aukštesnių užsakymų išvestinės priemonės
Atkreipkite dėmesį, kad vedinys iš cos x pirmos eilės gali būti išreikštas kosinusu taip:
.
Raskime antros eilės išvestinę, naudodami kompleksinės funkcijos išvestinės formulę:
.
čia .
Atkreipkite dėmesį į skirtumą cos x sukelia jo argumento padidėjimą . Tada n-osios eilės išvestinė turi tokią formą:
(5)
.
Šią formulę galima griežčiau įrodyti naudojant matematinės indukcijos metodą. Sinuso n-osios išvestinės įrodymas pateiktas puslapyje „Sinuso išvestinė“. N-osios kosinuso išvestinės įrodymas yra lygiai toks pat. Tik visose formulėse nuodėmę reikia pakeisti cos.
Taip pat žiūrėkite: Išvestinis skaičiavimas yra viena iš svarbiausių diferencialinio skaičiavimo operacijų. Žemiau yra lentelė, skirta paprastų funkcijų išvestinėms rasti. Sudėtingesnių diferenciacijos taisyklių ieškokite kitose pamokose:- Eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių lentelė
Paprastų funkcijų dariniai
1. Skaičiaus išvestinė lygi nuliuiс´ = 0
Pavyzdys:
5' = 0
Paaiškinimas:
Išvestinė rodo greitį, kuriuo keičiasi funkcijos reikšmė pasikeitus argumentui. Kadangi skaičius jokiu būdu nesikeičia jokiomis sąlygomis, jo kitimo greitis visada lygus nuliui.
2. Kintamojo išvestinė lygus vienam
x' = 1
Paaiškinimas:
Kiekvieną kartą padidinus argumentą (x) vienu, funkcijos reikšmė (skaičiavimo rezultatas) padidėja tiek pat. Taigi funkcijos y = x reikšmės kitimo greitis yra tiksliai lygus argumento reikšmės kitimo greičiui.
3. Kintamojo ir koeficiento išvestinė yra lygi šiam veiksniui
сx´ = с
Pavyzdys:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Paaiškinimas:
Šiuo atveju kiekvieną kartą funkcijos argumentas ( X) jo vertė (y) auga Su kartą. Taigi funkcijos reikšmės kitimo greitis argumento kitimo greičio atžvilgiu yra tiksliai lygus reikšmei Su.
Iš kur tai išplaukia
(cx + b)" = c
tai yra tiesinės funkcijos y=kx+b diferencialas lygus tiesės (k) nuolydžiui.
4. Modulinė kintamojo išvestinė yra lygus šio kintamojo ir jo modulio daliniui
|x|"= x / |x| su sąlyga, kad x ≠ 0
Paaiškinimas:
Kadangi kintamojo išvestinė (žr. 2 formulę) lygi vienetui, modulio išvestinė skiriasi tik tuo, kad kertant pradinį tašką funkcijos kitimo greičio reikšmė pasikeičia į priešingą (pabandykite nubraižyti grafiką funkcijos y = |x| ir pamatysite patys. Tai yra tiksliai reikšmė ir grąžinama išraiška x / |x| Kai x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - vienas. Tai yra, esant neigiamoms kintamojo x reikšmėms, kiekvieną kartą padidėjus argumento pokyčiui, funkcijos reikšmė sumažėja lygiai ta pačia reikšme, o esant teigiamoms reikšmėms, atvirkščiai, ji didėja, bet tiksliai ta pati vertė.
5. Kintamojo galios išvestinė yra lygus šios galios skaičiaus ir galios kintamojo sandaugai, sumažintam vienetu
(x c)"= cx c-1, su sąlyga, kad x c ir cx c-1 yra apibrėžti ir c ≠ 0
Pavyzdys:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Norėdami įsiminti formulę:
Paimkite kintamojo „žemyn“ rodiklį kaip daugiklį, o tada sumažinkite patį rodiklį vienu. Pavyzdžiui, x 2 – du buvo prieš x, o tada sumažinta galia (2-1 = 1) mums tiesiog suteikė 2x. Tas pats nutiko ir x 3 - sumažiname trigubą, sumažiname jį vienu, o vietoj kubo turime kvadratą, tai yra 3x 2. Šiek tiek „nemoksliška“, bet labai lengvai įsimenama.
6.Trupmenų darinys 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Pavyzdys:
Kadangi trupmena gali būti pavaizduota kaip neigiama galia
(1/x)" = (x -1)" , tada galite taikyti formulę iš išvestinių lentelės 5 taisyklės
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2
7. Trupmenų darinys su savavališko laipsnio kintamuoju vardiklyje
(1/x c)" = - c / x c+1
Pavyzdys:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. šaknies vedinys(kintamojo po kvadratine šaknimi išvestinė)
(√x)" = 1 / (2√x) arba 1/2 x -1/2
Pavyzdys:
(√x)" = (x 1/2)", kad galėtumėte taikyti formulę iš 5 taisyklės
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Kintamojo išvestinė pagal savavališko laipsnio šaknį
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
Išvestinės apskaičiavimas dažnai randamas USE priskyrimuose. Šiame puslapyje pateikiamas išvestinių išvestinių formulių sąrašas.
Diferencijavimo taisyklės
- (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
- (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
- Sudėtingos funkcijos išvestinė. Jei y=F(u) ir u=u(x), tai funkcija y=f(x)=F(u(x)) vadinama kompleksine x funkcija. Lygus y′(x)=Fu′⋅ ux′.
- Netiesioginės funkcijos išvestinė. Funkcija y=f(x) vadinama numanoma funkcija, kurią suteikia santykis F(x,y)=0, jei F(x,f(x))≡0.
- Atvirkštinės funkcijos išvestinė. Jei g(f(x))=x, tai funkcija g(x) vadinama funkcijos y=f(x) atvirkštine funkcija.
- Parametriškai pateiktos funkcijos išvestinė. Tegu x ir y pateikiami kaip kintamojo t funkcijos: x=x(t), y=y(t). Sakoma, kad y=y(x) yra parametriškai apibrėžta funkcija intervale x∈ (a;b), jei šiame intervale lygtis x=x(t) gali būti išreikšta kaip t=t(x) ir funkcija y=y(t(x))=y(x).
- Eksponentinės funkcijos išvestinė. Jis randamas logaritmą paėmus į natūraliojo logaritmo pagrindą.
Pateikiamas sinuso - nuodėmės (x) išvestinės formulės įrodymas ir išvedimas. Sin 2x, sinuso kvadrato ir kubo išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai. N-osios eilės sinuso išvestinės formulės išvedimas.
TurinysTaip pat žiūrėkite: Sinusas ir kosinusas – savybės, grafikai, formulės
Išvestinė x sinuso kintamojo x atžvilgiu yra lygi x kosinusui:
(sin x)′ = cos x.
Įrodymas
Norėdami gauti sinuso išvestinės formulę, naudosime išvestinės apibrėžimą:
.
Norėdami rasti šią ribą, turime transformuoti išraišką taip, kad ją sumažintume iki žinomų dėsnių, savybių ir taisyklių. Norėdami tai padaryti, turime žinoti keturias savybes.
1)
Pirmosios ypatingos ribos reikšmė:
(1)
;
2)
Kosinuso funkcijos tęstinumas:
(2)
;
3)
Trigonometrinės formulės. Mums reikia šios formulės:
(3)
;
4)
Funkcijos ribos aritmetinės savybės:
Jei ir tada
(4)
.
Šias taisykles taikome iki galo. Pirmiausia transformuojame algebrinę išraišką
.
Tam taikome formulę
(3)
.
Mūsų atveju
; . Tada
;
;
;
.
Dabar pakeiskime. adresu , . Taikykime pirmą reikšmingą ribą (1):
.
Mes atliekame tą patį pakeitimą ir naudojame tęstinumo savybę (2):
.
Kadangi egzistuoja aukščiau apskaičiuotos ribos, taikome savybę (4):
.
Sinuso išvestinės formulė įrodyta.
Pavyzdžiai
Apsvarstykite paprastus pavyzdžius, kaip rasti funkcijų, turinčių sinusą, išvestinių. Rasime šių funkcijų išvestinius:
y=sin2x; y= sin2x ir y= sin3x.
1 pavyzdys
Raskite išvestinę iš nuodėmė 2x.
Pirmiausia randame paprasčiausios dalies išvestinį:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Mes taikome.
.
čia .
(sin 2x)′ = 2 cos 2x.
2 pavyzdys
Raskite sinuso kvadrato išvestinę:
y= sin2x.
Perrašykime pradinę funkciją suprantamesne forma:
.
Raskite paprasčiausios dalies išvestinę:
.
Taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę.
.
čia .
Galima taikyti vieną iš trigonometrijos formulių. Tada
.
3 pavyzdys
Raskite sinuso kubu išvestinę:
y= sin3x.
Aukštesnių užsakymų išvestinės priemonės
Atkreipkite dėmesį, kad vedinys iš nuodėmė x pirmos eilės gali būti išreikštas sinusu taip:
.
Raskime antros eilės išvestinę, naudodami kompleksinės funkcijos išvestinės formulę:
.
čia .
Dabar matome tą skirtumą nuodėmė x sukelia jo argumento padidėjimą . Tada n-osios eilės išvestinė turi tokią formą:
(5)
.
Įrodykime tai taikydami matematinės indukcijos metodą.
Jau patikrinome, ar formulė (5) galioja.
Tarkime, kad formulė (5) galioja kai kuriai reikšmei. Įrodykime, kad iš to išplaukia, kad formulė (5) galioja .
Rašome formulę (5):
.
Šią lygtį išskiriame taikydami sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę:
.
čia .
Taigi mes radome:
.
Jei pakeisime , tada ši formulė įgauna formą (5).
Formulė įrodyta.
Taip pat žiūrėkite:Data: 2014-11-20
Kas yra darinys?
Išvestinė lentelė.
Išvestinė yra viena iš pagrindinių aukštosios matematikos sąvokų. Šioje pamokoje supažindinsime su šia sąvoka. Susipažinkime, be griežtų matematinių formuluočių ir įrodymų.
Ši įžanga leis jums:
Suprasti paprastų užduočių su išvestiniu esmę;
Sėkmingai išspręskite šias labai paprastas užduotis;
Pasiruoškite rimtesnėms išvestinėms pamokoms.
Pirma, maloni staigmena.
Griežtas išvestinės apibrėžimas pagrįstas ribų teorija, o dalykas yra gana sudėtingas. Tai erzina. Tačiau praktinis darinio pritaikymas, kaip taisyklė, nereikalauja tokių plačių ir gilių žinių!
Norint sėkmingai atlikti daugumą užduočių mokykloje ir universitete, pakanka žinoti tik keli terminai- suprasti užduotį ir tik kelios taisyklės- ją išspręsti. Štai ir viskas. Tai mane džiugina.
Ar mes susipažinsime?)
Terminai ir pavadinimai.
Elementariojoje matematikoje yra daug matematinių operacijų. Sudėjimas, atimtis, daugyba, eksponencija, logaritmas ir kt. Jei prie šių veiksmų pridedama dar viena operacija, elementarioji matematika tampa aukštesnė. Ši nauja operacija vadinama diferenciacija.Šios operacijos apibrėžimas ir prasmė bus aptariama atskirose pamokose.
Čia svarbu suprasti, kad diferenciacija yra tik matematinė funkcijos operacija. Mes paimame bet kokią funkciją ir pagal tam tikras taisykles ją transformuojame. Rezultatas – nauja funkcija. Ši nauja funkcija vadinama: išvestinė.
Diferencijavimas- veiksmas pagal funkciją.
Darinys yra šio veiksmo rezultatas.
Visai kaip pvz. suma yra papildymo rezultatas. Arba privatus yra padalijimo rezultatas.
Žinodami terminus, bent jau galite suprasti užduotis.) Formuluotė tokia: rasti funkcijos išvestinę; paimti darinį; atskirti funkciją; apskaičiuoti išvestinę ir tt Tai viskas tas pats.Žinoma, yra ir sudėtingesnių užduočių, kur išvestinės (diferencijavimo) radimas bus tik vienas iš uždavinio sprendimo žingsnių.
Išvestinė žymima brūkšniu viršuje, dešinėje virš funkcijos. Kaip šitas: y" arba f"(x) arba S"(t) ir taip toliau.
skaityti y smūgis, ef smūgis iš x, es smūgis iš te, nu supranti...)
Pirminis dydis taip pat gali reikšti tam tikros funkcijos išvestinę, pavyzdžiui: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" ir tt Dažnai išvestinė žymima diferencialais, tačiau tokio žymėjimo šioje pamokoje nenagrinėsime.
Tarkime, kad išmokome suprasti užduotis. Nelieka nieko – išmokti juos išspręsti.) Dar kartą priminsiu: išvestinės radimas yra funkcijos transformacija pagal tam tikras taisykles.Šių taisyklių stebėtinai mažai.
Norėdami rasti funkcijos išvestinę, turite žinoti tik tris dalykus. Trys ramsčiai, ant kurių remiasi visa diferenciacija. Štai trys banginiai:
1. Išvestinių (diferencijavimo formulių) lentelė.
3. Sudėtinės funkcijos išvestinė.
Pradėkime eilės tvarka. Šioje pamokoje mes apsvarstysime išvestinių lentelę.
Išvestinė lentelė.
Pasaulis turi begalę funkcijų. Tarp šio rinkinio yra funkcijų, kurios yra svarbiausios praktiniam pritaikymui. Šios funkcijos atitinka visus gamtos dėsnius. Iš šių funkcijų, kaip ir iš plytų, galite sukonstruoti visas kitas. Ši funkcijų klasė vadinama elementarios funkcijos. Būtent šios funkcijos yra mokomos mokykloje - tiesinė, kvadratinė, hiperbolė ir kt.
Funkcijų diferencijavimas „nuo nulio“, t.y. remiantis išvestinės apibrėžimu ir ribų teorija – gana daug laiko atimantis dalykas. O matematikai taip pat yra žmonės, taip, taip!) Taigi jie supaprastino savo (ir mūsų) gyvenimą. Prieš mus jie apskaičiavo elementariųjų funkcijų išvestinius. Rezultatas yra išvestinių priemonių lentelė, kurioje viskas yra paruošta.)
Štai ši plokštė skirta populiariausioms funkcijoms. Kairė – elementarioji funkcija, dešinė – jos išvestinė.
Funkcija y |
Funkcijos y išvestinė y" |
|
1 | C (pastovi) | C" = 0 |
2 | x | x" = 1 |
3 | x n (n yra bet koks skaičius) | (x n)" = nx n-1 |
x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
4 | nuodėmė x | (sinx)" = cosx |
cos x | (cos x)" = - sin x | |
tg x | ||
ctg x | ||
5 | arcsin x | |
arccos x | ||
arctg x | ||
arcctg x | ||
4 | a x | |
e x | ||
5 | žurnalas a x | |
ln x ( a = e) |
Rekomenduoju atkreipti dėmesį į trečią funkcijų grupę šioje išvestinių lentelėje. Galios funkcijos išvestinė yra viena iš labiausiai paplitusių formulių, jei ne pati labiausiai paplitusi! Ar užuomina aiški?) Taip, išvestinių lentelę pageidautina žinoti mintinai. Beje, tai nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti. Pabandykite išspręsti daugiau pavyzdžių, pati lentelė bus prisiminta!)
Kaip suprantate, rasti išvestinės vertės lentelę nėra pati sunkiausia užduotis. Todėl labai dažnai tokiose užduotyse yra papildomų lustų. Arba formuluojant užduotį, arba pradinėje funkcijoje, kurios, atrodo, nėra lentelėje ...
Pažvelkime į kelis pavyzdžius:
1. Raskite funkcijos y = x išvestinę 3
Lentelėje tokios funkcijos nėra. Tačiau yra bendra galios funkcijos išvestinė (trečioji grupė). Mūsų atveju n=3. Taigi vietoj n pakeičiame trigubą ir atidžiai užrašome rezultatą:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
Tai viskas.
Atsakymas: y" = 3x 2
2. Raskite funkcijos y = sinx išvestinės reikšmę taške x = 0.
Ši užduotis reiškia, kad pirmiausia turite rasti sinuso išvestinę, o tada pakeisti reikšmę x = 0 prie to paties darinio. Tai tokia tvarka! Kitu atveju atsitinka taip, kad jie iš karto pakeičia nulį į pradinę funkciją... Mūsų prašoma rasti ne pradinės funkcijos reikšmę, o reikšmę jo vedinys. Išvestinė, priminsiu, jau yra nauja funkcija.
Plokštelėje randame sinusą ir atitinkamą išvestinę:
y" = (sinx)" = cosx
Išvestinėje pakeiskite nulį:
y"(0) = cos 0 = 1
Tai bus atsakymas.
3. Atskirkite funkciją:
Kas įkvepia?) Išvestinių lentelėje tokios funkcijos net nėra.
Leiskite jums priminti, kad norint atskirti funkciją, tiesiog reikia rasti šios funkcijos išvestinę. Jei pamiršite elementariąją trigonometriją, rasti mūsų funkcijos išvestinę yra gana sudėtinga. Lentelė nepadeda...
Bet jei matome, kad mūsų funkcija yra dvigubo kampo kosinusas, tada viskas iškart pagerėja!
Taip taip! Atminkite, kad pradinės funkcijos transformacija prieš diferenciaciją visai priimtina! Ir tai labai palengvina gyvenimą. Pagal dvigubo kampo kosinuso formulę:
Tie. mūsų sudėtinga funkcija yra ne kas kita y = cox. Ir tai yra lentelės funkcija. Iš karto gauname:
Atsakymas: y" = - sin x.
Pavyzdys pažengusiems absolventams ir studentams:
4. Raskite funkcijos išvestinę:
Išvestinių lentelėje tokios funkcijos, žinoma, nėra. Bet jei atsimeni elementarią matematiką, veiksmus su galiomis... Tada visai įmanoma šią funkciją supaprastinti. Kaip šitas:
O x iki dešimtosios laipsnio jau yra lentelės funkcija! Trečioji grupė, n=1/10. Tiesiogiai pagal formulę ir parašykite:
Tai viskas. Tai bus atsakymas.
Tikiuosi, kad su pirmuoju diferenciacijos banginiu – išvestinių lentele – viskas aišku. Belieka susidoroti su dviem likusiais banginiais. Kitoje pamokoje išmoksime diferencijavimo taisykles.