Definiţia quadratic inequality
Nota 1
Inegalitatea se numește pătratică deoarece variabila este la pătrat. Se mai numesc și inegalitățile cuadratice inegalități de gradul doi.
Exemplul 1
Exemplu.
$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – inegalități pătratice.
După cum se poate observa din exemplu, nu toate elementele inegalității de forma $ax^2+bx+c > 0$ sunt prezente.
De exemplu, în inegalitatea $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ nu există termen liber (termen $с$), iar în inegalitatea $11z^2+8 \le 0$ nu există termen cu coeficient $b$. Astfel de inegalități sunt, de asemenea, pătratice, dar se mai numesc inegalități pătratice incomplete. Aceasta înseamnă doar că coeficienții $b$ sau $c$ sunt egali cu zero.
Metode de rezolvare a inegalităților pătratice
La rezolvarea inegalităților pătratice se folosesc următoarele metode de bază:
- grafic;
- metoda intervalului;
- izolând pătratul unui binom.
Metoda grafică
Nota 2
Metoda grafică soluții la inegalitățile pătratice $ax^2+bx+c > 0$ (sau cu semnul $
Aceste intervale sunt rezolvarea inegalității pătratice.
Metoda intervalului
Nota 3
Metoda intervalului pentru rezolvarea inegalităților pătratice de forma $ax^2+bx+c > 0$ (semnul de inegalitate poate fi și $
Soluții ale inegalităților pătratice cu semnul $""$ - intervale pozitive, cu semnele $"≤"$ și $"≥"$ - intervale negative și pozitive (respectiv), inclusiv punctele care corespund zerourilor trinomului.
Izolarea pătratului unui binom
Metoda de rezolvare a unei inegalități pătratice prin izolarea pătratului binomului este de a trece la o inegalitate echivalentă de forma $(x-n)^2 > m$ (sau cu semnul $
Inegalități care se reduc la pătratice
Nota 4
Adesea, atunci când rezolvăm inegalități, acestea trebuie reduse la inegalități pătratice de forma $ax^2+bx+c > 0$ (semnul de inegalitate poate fi și $ inegalități care se reduc la inegalități pătratice.
Nota 5
Cel mai într-un mod simplu Reducerea inegalităților la cele pătratice poate implica rearanjarea termenilor din inegalitatea inițială sau transferul lor, de exemplu, din partea dreaptă spre stânga.
De exemplu, când transferăm toți termenii inegalității $7x > 6-3x^2$ din partea dreaptă spre stânga, obținem inegalitatea pătratică de forma $3x^2+7x-6 > 0$.
Dacă rearanjam termenii din partea stângă a inegalității $1.5y-2+5.3x^2 \ge 0$ în ordinea descrescătoare a gradului variabilei $y$, atunci aceasta va duce la o inegalitate pătratică echivalentă de forma $5,3x^2+1,5y-2 \ge 0$.
La hotărâre inegalități raționale ele sunt adesea reduse la inegalităţi pătratice. În acest caz, este necesar să transferați toți termenii către partea stangași transformați expresia rezultată în forma unui trinom pătratic.
Exemplul 2
Exemplu.
Reduceți inegalitatea $7 \cdot (x+0.5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ la una pătratică.
Soluţie.
Să mutăm toți termenii în partea stângă a inegalității:
$7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.
Folosind formule de înmulțire abreviate și paranteze de deschidere, simplificăm expresia din partea stângă a inegalității:
$7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;
$x^2-21,5x-19 > 0$.
Răspuns: $x^2-21,5x-19 > 0$.
Nivel mediu
Inegalități cuadratice. Ghid cuprinzător (2019)
Pentru a ne da seama cum să rezolvăm ecuațiile pătratice, trebuie să înțelegem ce este funcţie pătratică, și ce proprietăți are.
Probabil v-ați întrebat de ce este necesară o funcție pătratică? Unde este aplicabil graficul său (parabola)? Da, trebuie doar să te uiți în jur și vei observa că dai peste el în fiecare zi în viața de zi cu zi. Ai observat cum zboară o minge aruncată în educația fizică? „De-a lungul arcului”? Cel mai corect răspuns ar fi „parabola”! Și pe ce traiectorie se mișcă jetul în fântână? Da, tot într-o parabolă! Cum zboară un glonț sau un obuz? Așa e, tot în parabolă! Astfel, cunoscând proprietățile unei funcții pătratice, se vor putea rezolva multe probleme practice. De exemplu, în ce unghi trebuie aruncată o minge pentru a asigura cea mai mare distanță? Sau, unde va ajunge proiectilul dacă îl lansați într-un anumit unghi? etc.
Funcția pătratică
Deci, hai să ne dăm seama.
De exemplu, . Care sunt egalii aici și? Ei bine, desigur!
Dacă, adică mai putin de zero? Ei bine, desigur, suntem „triști”, ceea ce înseamnă că ramurile vor fi îndreptate în jos! Să ne uităm la grafic.
Această figură prezintă graficul unei funcții. Din moment ce, i.e. mai puțin de zero, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. În plus, probabil ați observat deja că ramurile acestei parabole intersectează axa, ceea ce înseamnă că ecuația are 2 rădăcini, iar funcția ia atât valori pozitive, cât și negative!
La început, când am dat definiția unei funcții pătratice, s-a spus că și sunt niște numere. Pot fi egale cu zero? Ei bine, bineînțeles că pot! Voi dezvălui chiar și un secret și mai mare (care nu este deloc un secret, dar merită menționat): nu există restricții impuse acestor numere (și) deloc!
Ei bine, să vedem ce se întâmplă cu graficele dacă și sunt egale cu zero.
După cum puteți vedea, graficele funcțiilor (și) luate în considerare s-au deplasat astfel încât vârfurile lor sunt acum în punctul cu coordonatele, adică la intersecția axelor și acest lucru nu are niciun efect asupra direcției ramurilor. . Astfel, putem concluziona că ei sunt responsabili pentru „mișcarea” graficului parabolei de-a lungul sistemului de coordonate.
Graficul unei funcții atinge axa într-un punct. Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină. Astfel, funcția ia valori mai mari sau egale cu zero.
Urmăm aceeași logică cu graficul funcției. Atinge axa x într-un punct. Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină. Astfel, funcția ia valori mai mici sau egale cu zero, adică.
Astfel, pentru a determina semnul unei expresii, primul lucru pe care trebuie să-l faci este să găsești rădăcinile ecuației. Acest lucru ne va fi foarte util.
Inegalitatea cuadratică
Când rezolvăm astfel de inegalități, vom avea nevoie de capacitatea de a determina unde o funcție pătratică este mai mare, mai mică sau egală cu zero. Acesta este:
- dacă avem o inegalitate a formei, atunci, de fapt, sarcina se reduce la determinarea intervalului numeric de valori pentru care parabola se află deasupra axei.
- dacă avem o inegalitate a formei, atunci de fapt sarcina se rezumă la determinarea intervalului numeric al valorilor x pentru care parabola se află sub axă.
Dacă inegalitățile nu sunt stricte, atunci rădăcinile (coordonatele intersecției parabolei cu axa) sunt incluse în intervalul numeric dorit în cazul inegalităților stricte, acestea sunt excluse;
Toate acestea sunt destul de formalizate, dar nu disperați și nu vă speriați! Acum să ne uităm la exemple și totul va fi la locul lui.
Când rezolvăm inegalitățile pătratice, vom adera la algoritmul dat, iar succesul inevitabil ne așteaptă!
Algoritm | Exemplu: |
1) Să notăm inegalitatea corespunzătoare ecuație pătratică(doar schimbați semnul inegalității în semnul egal „=”). | |
2) Să găsim rădăcinile acestei ecuații. | |
3) Marcați rădăcinile pe axă și afișați schematic orientarea ramurilor parabolei („sus” sau „jos”) | ![]() |
4) Să plasăm semne pe axa corespunzătoare semnului funcției pătratice: unde parabola este deasupra axei, punem „ ”, iar unde dedesubt - „ „. | ![]() |
5) Scrieți intervalul (intervalele) corespunzător lui „ ” sau „ ”, în funcție de semnul de inegalitate. Dacă inegalitatea nu este strictă, rădăcinile sunt incluse în interval dacă este strictă, nu sunt; |
Am înţeles? Atunci mergeți mai departe și fixați-l!
Exemplu:
Ei bine, a funcționat? Dacă aveți dificultăți, căutați soluții.
Soluţie:
Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Inegalitatea nu este strictă, așa că rădăcinile sunt incluse în intervalele:
Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:
Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:
Să marchem schematic rădăcinile obținute pe axă și să aranjam semnele:
Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Inegalitatea este strictă, deci rădăcinile nu sunt incluse în intervale:
Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:
Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:
această ecuație are o singură rădăcină
Să marchem schematic rădăcinile obținute pe axă și să aranjam semnele:
Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Pentru oricare, funcția ia valori nenegative. Deoarece inegalitatea nu este strictă, răspunsul va fi.
Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:
Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:
Să desenăm schematic un grafic al unei parabole și să aranjam semnele:
Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Pentru oricare, funcția ia valori pozitive, prin urmare, soluția inegalității va fi intervalul:
INEGALITĂȚI PĂTRATE. NIVEL MEDIU
Funcția pătratică.
Înainte de a vorbi despre subiectul „inegalități pătratice”, să ne amintim ce este o funcție pătratică și care este graficul acesteia.
O funcție pătratică este o funcție de forma, |
Cu alte cuvinte, asta polinom de gradul doi.
Graficul unei funcții pătratice este o parabolă (vă amintiți ce este?). Ramurile sale sunt îndreptate în sus dacă „a) funcția ia numai valori pozitive pentru toate, iar în a doua () - numai negative:
În cazul în care ecuația () are exact o rădăcină (de exemplu, dacă discriminantul este zero), aceasta înseamnă că graficul atinge axa:
Apoi, similar cu cazul precedent, pentru „ .
Deci, am învățat recent cum să determinăm unde o funcție pătratică este mai mare decât zero și unde este mai mică:
Dacă inegalitatea pătratică nu este strictă, atunci rădăcinile sunt incluse în intervalul numeric dacă este strictă, nu sunt;
Dacă există o singură rădăcină, este în regulă, același semn va fi peste tot. Dacă nu există rădăcini, totul depinde doar de coeficient: dacă „25((x)^(2))-30x+9
Raspunsuri:
2) 25((x)^(2))-30x+9>
Nu există rădăcini, așa că întreaga expresie din partea stângă ia semnul coeficientului înainte:
- Dacă doriți să găsiți un interval numeric în care trinomul pătratic este mai mare decât zero, atunci acesta este intervalul numeric în care parabola se află deasupra axei.
- Dacă doriți să găsiți un interval numeric pe care trinomul pătratic este mai mic decât zero, atunci acesta este intervalul numeric în care parabola se află sub axă.
INEGALITĂȚI PĂTRATE. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE
Funcția pătratică este o funcție de forma: ,
Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Ramurile sale sunt îndreptate în sus dacă și în jos dacă:
Tipuri de inegalități pătratice:
Toate inegalitățile pătratice sunt reduse la următoarele patru tipuri:
Algoritm de rezolvare:
Algoritm | Exemplu: |
1) Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare inegalității (pur și simplu schimbăm semnul inegalității în semnul egal " "). | |
2) Să găsim rădăcinile acestei ecuații. | |
3) Marcați rădăcinile pe axă și arată schematic orientarea ramurilor parabolei („sus” sau „jos”) | ![]() |
4) Să plasăm semne pe axa corespunzătoare semnului funcției pătratice: unde parabola este deasupra axei, punem „ ”, iar unde dedesubt - „ „. | ![]() |
5) Notează intervalul (intervalele) corespunzător lui „ ” sau „ ”, în funcție de semnul de inegalitate. Dacă inegalitatea nu este strictă, rădăcinile sunt incluse în interval dacă este strictă, nu sunt; |
Metoda intervalelor este considerată pe bună dreptate o metodă universală de rezolvare a inegalităților. Este cel mai ușor de utilizat pentru rezolvarea inegalităților pătratice dintr-o variabilă. În acest material vom lua în considerare toate aspectele utilizării metodei intervalului pentru a rezolva inegalitățile pătratice. Pentru a facilita asimilarea materialului, vom lua în considerare un număr mare de exemple de diferite grade de complexitate.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algoritm pentru aplicarea metodei intervalului
Să luăm în considerare un algoritm pentru utilizarea metodei intervalului într-o versiune adaptată, care este potrivit pentru rezolvarea inegalităților pătratice. Este această versiune a metodei intervalului pe care elevii sunt introduși în lecțiile de algebră. Să nu complicăm nici sarcina.
Să trecem la algoritmul în sine.
Avem trinomul pătratic a · x 2 + b · x + c din partea stângă a inegalității pătratice. Găsim zerourile acestui trinom.
În sistemul de coordonate descriem o linie de coordonate. Marcam rădăcinile pe el. Pentru comoditate, putem introduce diferite moduri de notare a punctelor pentru inegalități stricte și nestrictive. Să fim de acord că vom folosi puncte „vide” pentru a marca coordonatele atunci când rezolvăm o inegalitate strictă, iar punctele obișnuite pentru a marca una non-strict. Prin marcarea punctelor, obținem mai multe intervale pe axa de coordonate.
Dacă la primul pas am găsit zerouri, atunci determinăm semnele valorilor trinomului pentru fiecare dintre intervalele rezultate. Dacă nu primim zerouri, atunci efectuăm această acțiune pentru întreaga linie numerică. Marcam golurile cu semnele „+” sau „-”.
În plus, vom introduce umbrirea în cazurile în care rezolvăm inegalități cu semne > sau ≥ și< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».
Notând semnele valorilor trinomului și aplicând umbrire peste segmente, obținem o imagine geometrică a unei anumite mulțimi numerice, care este de fapt o soluție a inegalității. Tot ce trebuie să facem este să scriem răspunsul.
Să ne oprim mai în detaliu asupra celui de-al treilea pas al algoritmului, care implică determinarea semnului decalajului. Există mai multe abordări pentru definirea semnelor. Să le privim în ordine, începând cu cele mai precise, deși nu cele mai rapide. Această metodă implică calcularea valorilor trinomului în mai multe puncte din intervalele rezultate.
Exemplul 1
De exemplu, să luăm trinomul x 2 + 4 · x − 5 .
Rădăcinile acestui trinom 1 și - 5 împart axa de coordonate în trei intervale (− ∞, − 5), (− 5, 1) și (1, + ∞).
Să începem cu intervalul (1, + ∞). Pentru a ne simplifica sarcina, să luăm x = 2. Se obține 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7.
7 este un număr pozitiv. Aceasta înseamnă că valorile acestui trinom pătratic pe intervalul (1, + ∞) sunt pozitive și pot fi notate cu semnul „+”.
Pentru a determina semnul intervalului (− 5, 1) luăm x = 0. Avem 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Puneți un semn „-” deasupra intervalului.
Pentru intervalul (− ∞, − 5) luăm x = − 6, obținem (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7. Marcam acest interval cu semnul „+”.
Puteți identifica semnele mult mai rapid ținând cont de următoarele fapte.
Cu un discriminant pozitiv, un trinom pătrat cu două rădăcini oferă o alternanță de semne ale valorilor sale pe intervale în care linia numerică este împărțită la rădăcinile acestui trinom. Aceasta înseamnă că nu trebuie neapărat să definim semne pentru fiecare dintre intervale. Este suficient să efectuați calcule pentru unul și să puneți semne pentru restul, ținând cont de principiul alternanței.
Dacă doriți, puteți face cu totul fără calcule trăgând concluzii despre semne pe baza valorii coeficientului de conducere. Dacă a > 0, atunci obținem o succesiune de semne +, −, + și dacă a< 0 – то − , + , − .
Pentru trinoamele pătratice cu o rădăcină, când discriminantul este zero, obținem două intervale pe axa de coordonate cu aceleași semne. Aceasta înseamnă că determinăm semnul pentru unul dintre intervale și setăm același lucru pentru al doilea.
Aici aplicăm și metoda de determinare a semnului pe baza valorii coeficientului a: dacă a > 0, atunci va fi +, + și dacă a< 0 , то − , − .
Dacă un trinom pătrat nu are rădăcini, atunci semnele valorilor sale pentru întreaga linie de coordonate coincid atât cu semnul coeficientului principal a, cât și cu semnul termenului liber c.
De exemplu, dacă luăm trinomul pătratic − 4 x 2 − 7, acesta nu are rădăcini (discriminantul său este negativ). Coeficientul lui x 2 este negativ − 4, iar intersecția − 7 este, de asemenea, negativă. Aceasta înseamnă că pe intervalul (− ∞, + ∞) valorile sale sunt negative.
Să ne uităm la exemple de rezolvare a inegalităților pătratice folosind algoritmul discutat mai sus.
Exemplul 2
Rezolvați inegalitatea 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0.
Soluţie
Folosim metoda intervalului pentru a rezolva inegalitatea. Pentru a face acest lucru, să găsim rădăcinile trinomului pătrat 8 x 2 − 4 x − 1 . Datorită faptului că coeficientul pentru x este par, ne va fi mai convenabil să calculăm nu discriminantul, ci a patra parte a discriminantului: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 .
Discriminantul este mai mare decât zero. Acest lucru ne permite să găsim cele două rădăcini ale trinomului pătrat: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 și x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Să marchem aceste valori pe linia numerică. Deoarece ecuația nu este strictă, folosim puncte obișnuite pe grafic.
Acum, folosind metoda intervalului, determinăm semnele celor trei intervale rezultate. Coeficientul lui x 2 este egal cu 8, adică pozitiv, prin urmare, succesiunea semnelor va fi +, −, +.
Deoarece rezolvăm o inegalitate cu semnul ≥, trasăm umbrirea intervalelor cu semne plus:
Să scriem setul numeric analitic din imaginea grafică rezultată. Putem face acest lucru în două moduri:
Răspuns:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) sau x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .
Exemplul 3
Rezolvați inegalitatea pătratică - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.
Soluţie
Mai întâi, să găsim rădăcinile trinomului pătratic din partea stângă a inegalității:
D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7
Aceasta este o inegalitate strictă, așa că folosim un punct „gol” pe grafic. Cu coordonata 7.
Acum trebuie să determinăm semnele intervalelor rezultate (− ∞, 7) și (7, + ∞). Deoarece discriminantul unui trinom pătratic este zero și coeficientul principal este negativ, punem semnele − , − :
Deoarece rezolvăm o inegalitate cu un semn< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
În acest caz, soluțiile sunt ambele intervale (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .
Răspuns:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) sau în altă notație x ≠ 7 .
Exemplul 4
Are inegalitatea pătratică x 2 + x + 7< 0 решения?
Soluţie
Să găsim rădăcinile trinomului pătratic din partea stângă a inegalității. Pentru a face acest lucru, găsim discriminantul: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . Discriminantul este mai mic decât zero, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini reale.
Imaginea grafică va arăta ca o linie numerică fără puncte marcate pe ea.
Să determinăm semnul valorilor trinomului pătratic. La D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :
În acest caz, am putea aplica umbrirea spațiilor cu semnul „-”. Dar nu avem astfel de lacune. Prin urmare, desenul arată astfel:
În urma calculelor, am primit un set gol. Aceasta înseamnă că această inegalitate pătratică nu are soluții.
Răspuns: Nu.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Acest articol conține material care acoperă subiectul „ rezolvarea inegalităților pătratice" În primul rând, se arată ce sunt inegalitățile pătratice cu o variabilă și este dată forma lor generală. Și apoi ne uităm în detaliu la cum să rezolvăm inegalitățile pătratice. Sunt prezentate principalele abordări ale soluției: metoda grafică, metoda intervalelor și prin selectarea pătratului binomului din partea stângă a inegalității. Sunt oferite soluții la exemple tipice.
Navigare în pagină.
Ce este o inegalitate pătratică?
Desigur, înainte de a vorbi despre rezolvarea inegalităților pătratice, trebuie să înțelegem clar ce este o inegalitate pătratică. Cu alte cuvinte, trebuie să fiți capabil să distingeți inegalitățile pătratice de alte tipuri de inegalități după tipul de înregistrare.
Definiție.
Inegalitatea pătratică este o inegalitate de forma a x 2 +b x+c<0 (вместо знака >poate exista orice alt semn de inegalitate ≤, >, ≥), unde a, b și c sunt niște numere și a≠0 și x este o variabilă (variabila poate fi notă cu orice altă literă).
Să dăm imediat un alt nume inegalităților pătratice - inegalități de gradul doi. Acest nume se explică prin faptul că în partea stângă a inegalităților a x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».
De asemenea, uneori puteți auzi inegalități pătratice numite inegalități pătratice. Acest lucru nu este în întregime corect: definiția „quadratic” se referă la funcții definite prin ecuații de forma y=a·x 2 +b·x+c. Deci, există inegalități pătratice și funcții pătratice, dar nu inegalități pătratice.
Să arătăm câteva exemple de inegalități pătratice: 5 x 2 −3 x+1>0, aici a=5, b=−3 și c=1; −2,2·z 2 −0,5·z−11≤0, coeficienții acestei inegalități pătratice sunt a=−2,2, b=−0,5 și c=−11; , în acest caz .
Rețineți că în definiția unei inegalități pătratice, coeficientul a lui x 2 este considerat a fi diferit de zero. Acest lucru este de înțeles; egalitatea coeficientului a la zero va „elimina” pătratul și vom avea de-a face cu o inegalitate liniară de forma b x+c>0 fără pătratul variabilei. Dar coeficienții b și c pot fi egali cu zero, atât separat, cât și simultan. Iată exemple de astfel de inegalități pătratice: x 2 −5≥0, aici coeficientul b pentru variabila x este egal cu zero; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 atât b cât și c sunt zero.
Cum se rezolvă inegalitățile pătratice?
Acum puteți fi nedumerit de întrebarea cum să rezolvați inegalitățile pătratice. Practic, sunt utilizate trei metode principale pentru a rezolva:
- metoda grafică (sau, ca în A.G. Mordkovich, grafică funcțională),
- metoda intervalului,
- și rezolvarea inegalităților pătratice prin izolarea pătratului binomului din partea stângă.
Grafic
Să facem imediat o rezervă că metoda de rezolvare a inegalităților pătratice, pe care o luăm în considerare acum, nu se numește grafică în manualele școlare de algebră. Cu toate acestea, în esență, acesta este ceea ce este. Mai mult, prima cunoștință cu metoda grafica de rezolvare a inegalitatilor de obicei începe atunci când se pune întrebarea cum să rezolve inegalitățile pătratice.
Metodă grafică de rezolvare a inegalităților pătratice a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) constă în analiza graficului funcției pătratice y=a·x 2 +b·x+c pentru a găsi intervalele în care funcția specificată ia valori negative, pozitive, nepozitive sau nenegative. Aceste intervale constituie soluțiile inegalităților pătratice a x 2 +b x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≤0 și respectiv a x 2 +b x+c≥0.
Metoda intervalului
Pentru a rezolva inegalitățile pătratice cu o variabilă, pe lângă metoda grafică, metoda intervalului este destul de convenabilă, care în sine este foarte universală și este potrivită pentru rezolvarea diferitelor inegalități, nu doar a celor pătratice. Latura sa teoretică se află dincolo de limitele cursului de algebră din clasele a VIII-a și a IX-a, când învață să rezolve inegalitățile pătratice. Prin urmare, aici nu vom intra în justificarea teoretică a metodei intervalului, ci ne vom concentra asupra modului în care sunt rezolvate inegalitățile pătratice cu ajutorul acesteia.
Esența metodei intervalului în raport cu rezolvarea inegalităților pătratice a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥), constă în determinarea semnelor care au valorile trinomului pătratic a·x 2 +b·x+c pe intervalele în care se împarte axa de coordonate la zerourile acestui trinom (dacă există). Intervalele cu semnele minus constituie soluții ale inegalității pătratice a x 2 +b x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0, iar la rezolvarea inegalităților nestricte, la intervalele indicate se adaugă puncte corespunzătoare zerourilor trinomului.
Puteți face cunoștință cu toate detaliile acestei metode, algoritmul ei, regulile de plasare a semnelor pe intervale și puteți lua în considerare soluții gata făcute la exemplele tipice cu ilustrațiile oferite făcând referire la materialul din articol rezolvarea inegalităților pătratice folosind metoda intervalului .
Prin pătrarea binomului
Pe lângă metoda grafică și metoda intervalului, există și alte abordări care vă permit să rezolvați inegalitățile pătratice. Și ajungem la una dintre ele, care se bazează pe binom pătratîn partea stângă a inegalității pătratice.
Principiul acestei metode de rezolvare a inegalităților pătratice este de a efectua transformări echivalente ale inegalității, permițându-ne să se procedeze la rezolvarea unei inegalități echivalente de forma (x−p) 2 , ≥), unde p și q sunt niște numere.
Și cum are loc tranziția la inegalitate (x−p) 2? , ≥) și cum se rezolvă, articolul explică soluția inegalităților pătratice prin izolarea pătratului binomului. Există, de asemenea, exemple de rezolvare a inegalităților pătratice folosind această metodă și ilustrațiile grafice necesare.
Inegalități care se reduc la pătratice
În practică, de foarte multe ori trebuie să se ocupe de inegalități care pot fi reduse folosind transformări echivalente în inegalități pătratice de forma a x 2 +b x+c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.
Să începem cu exemple ale celor mai simple inegalități care se reduc la inegalități pătratice. Uneori, pentru a trece la o inegalitate pătratică, este suficient să rearanjați termenii din această inegalitate sau să-i mutați dintr-o parte în alta. De exemplu, dacă transferăm toți termenii din partea dreaptă a inegalității 5≤2·x−3·x 2 la stânga, obținem o inegalitate pătratică în forma specificată mai sus 3·x 2 −2·x+5 ≤0. Un alt exemplu: rearanjarea părții stângi a inegalității 5+0,6 x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .
La școală, la lecțiile de algebră, când învață să rezolve inegalitățile pătratice, se ocupă și de rezolvarea inegalităților raționale, reducându-se la pătrate. Soluția lor implică transferul tuturor termenilor în partea stângă și apoi transformarea expresiei formate acolo la forma a·x 2 +b·x+c prin executarea . Să ne uităm la un exemplu.
Exemplu.
Găsiți multe soluții la inegalitate 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5
.inegalitatea iraţională este echivalentă cu inegalitatea pătratică x 2 −6 x−9<0
, а inegalitatea logaritmică
– inegalitatea x 2 +x−2≥0.
Bibliografie.
- Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 9-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovich A.G. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a 11a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
Nivel mediu
Inegalități cuadratice. Ghidul suprem (2019)
Pentru a ne da seama cum să rezolvăm ecuațiile pătratice, trebuie să înțelegem ce este o funcție pătratică și ce proprietăți are.
Probabil v-ați întrebat de ce este necesară o funcție pătratică? Unde este aplicabil graficul său (parabola)? Da, trebuie doar să te uiți în jur și vei observa că dai peste el în fiecare zi în viața de zi cu zi. Ai observat cum zboară o minge aruncată în educația fizică? „De-a lungul arcului”? Cel mai corect răspuns ar fi „parabola”! Și pe ce traiectorie se mișcă jetul în fântână? Da, tot într-o parabolă! Cum zboară un glonț sau un obuz? Așa e, tot în parabolă! Astfel, cunoscând proprietățile unei funcții pătratice, se vor putea rezolva multe probleme practice. De exemplu, în ce unghi trebuie aruncată o minge pentru a asigura cea mai mare distanță? Sau, unde va ajunge proiectilul dacă îl lansați într-un anumit unghi? etc.
Funcția pătratică
Deci, hai să ne dăm seama.
De exemplu, . Care sunt egalii aici și? Ei bine, desigur!
Dacă, adică mai putin de zero? Ei bine, desigur, suntem „triști”, ceea ce înseamnă că ramurile vor fi îndreptate în jos! Să ne uităm la grafic.
Această figură prezintă graficul unei funcții. Din moment ce, i.e. mai puțin de zero, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. În plus, probabil ați observat deja că ramurile acestei parabole intersectează axa, ceea ce înseamnă că ecuația are 2 rădăcini, iar funcția ia atât valori pozitive, cât și negative!
La început, când am dat definiția unei funcții pătratice, s-a spus că și sunt niște numere. Pot fi egale cu zero? Ei bine, bineînțeles că pot! Voi dezvălui chiar și un secret și mai mare (care nu este deloc un secret, dar merită menționat): nu există restricții impuse acestor numere (și) deloc!
Ei bine, să vedem ce se întâmplă cu graficele dacă și sunt egale cu zero.
După cum puteți vedea, graficele funcțiilor (și) luate în considerare s-au deplasat astfel încât vârfurile lor sunt acum în punctul cu coordonatele, adică la intersecția axelor și acest lucru nu are niciun efect asupra direcției ramurilor. . Astfel, putem concluziona că ei sunt responsabili pentru „mișcarea” graficului parabolei de-a lungul sistemului de coordonate.
Graficul unei funcții atinge axa într-un punct. Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină. Astfel, funcția ia valori mai mari sau egale cu zero.
Urmăm aceeași logică cu graficul funcției. Atinge axa x într-un punct. Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină. Astfel, funcția ia valori mai mici sau egale cu zero, adică.
Astfel, pentru a determina semnul unei expresii, primul lucru pe care trebuie să-l faci este să găsești rădăcinile ecuației. Acest lucru ne va fi foarte util.
Inegalitatea cuadratică
Când rezolvăm astfel de inegalități, vom avea nevoie de capacitatea de a determina unde o funcție pătratică este mai mare, mai mică sau egală cu zero. Acesta este:
- dacă avem o inegalitate a formei, atunci, de fapt, sarcina se reduce la determinarea intervalului numeric de valori pentru care parabola se află deasupra axei.
- dacă avem o inegalitate a formei, atunci de fapt sarcina se rezumă la determinarea intervalului numeric al valorilor x pentru care parabola se află sub axă.
Dacă inegalitățile nu sunt stricte, atunci rădăcinile (coordonatele intersecției parabolei cu axa) sunt incluse în intervalul numeric dorit în cazul inegalităților stricte, acestea sunt excluse;
Toate acestea sunt destul de formalizate, dar nu disperați și nu vă speriați! Acum să ne uităm la exemple și totul va fi la locul lui.
Când rezolvăm inegalitățile pătratice, vom adera la algoritmul dat, iar succesul inevitabil ne așteaptă!
Algoritm | Exemplu: |
1) Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare inegalității (pur și simplu schimbăm semnul inegalității în semnul egal „=”). | |
2) Să găsim rădăcinile acestei ecuații. | |
3) Marcați rădăcinile pe axă și afișați schematic orientarea ramurilor parabolei („sus” sau „jos”) | ![]() |
4) Să plasăm semne pe axa corespunzătoare semnului funcției pătratice: unde parabola este deasupra axei, punem „ ”, iar unde dedesubt - „ „. | ![]() |
5) Scrieți intervalul (intervalele) corespunzător lui „ ” sau „ ”, în funcție de semnul de inegalitate. Dacă inegalitatea nu este strictă, rădăcinile sunt incluse în interval dacă este strictă, nu sunt; |
Am înţeles? Atunci mergeți mai departe și fixați-l!
Exemplu:
Ei bine, a funcționat? Dacă aveți dificultăți, căutați soluții.
Soluţie:
Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Inegalitatea nu este strictă, așa că rădăcinile sunt incluse în intervalele:
Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:
Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:
Să marchem schematic rădăcinile obținute pe axă și să aranjam semnele:
Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Inegalitatea este strictă, deci rădăcinile nu sunt incluse în intervale:
Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:
Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:
această ecuație are o singură rădăcină
Să marchem schematic rădăcinile obținute pe axă și să aranjam semnele:
Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Pentru oricare, funcția ia valori nenegative. Deoarece inegalitatea nu este strictă, răspunsul va fi.
Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:
Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:
Să desenăm schematic un grafic al unei parabole și să aranjam semnele:
Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Pentru oricare, funcția ia valori pozitive, prin urmare, soluția inegalității va fi intervalul:
INEGALITĂȚI PĂTRATE. NIVEL MEDIU
Funcția pătratică.
Înainte de a vorbi despre subiectul „inegalități pătratice”, să ne amintim ce este o funcție pătratică și care este graficul acesteia.
O funcție pătratică este o funcție de forma, |
Cu alte cuvinte, asta polinom de gradul doi.
Graficul unei funcții pătratice este o parabolă (vă amintiți ce este?). Ramurile sale sunt îndreptate în sus dacă „a) funcția ia numai valori pozitive pentru toate, iar în a doua () - numai negative:
În cazul în care ecuația () are exact o rădăcină (de exemplu, dacă discriminantul este zero), aceasta înseamnă că graficul atinge axa:
Apoi, similar cu cazul precedent, pentru „ .
Deci, am învățat recent cum să determinăm unde o funcție pătratică este mai mare decât zero și unde este mai mică:
Dacă inegalitatea pătratică nu este strictă, atunci rădăcinile sunt incluse în intervalul numeric dacă este strictă, nu sunt;
Dacă există o singură rădăcină, este în regulă, același semn va fi peste tot. Dacă nu există rădăcini, totul depinde doar de coeficient: dacă „25((x)^(2))-30x+9
Raspunsuri:
2) 25((x)^(2))-30x+9>
Nu există rădăcini, așa că întreaga expresie din partea stângă ia semnul coeficientului înainte:
- Dacă doriți să găsiți un interval numeric în care trinomul pătratic este mai mare decât zero, atunci acesta este intervalul numeric în care parabola se află deasupra axei.
- Dacă doriți să găsiți un interval numeric pe care trinomul pătratic este mai mic decât zero, atunci acesta este intervalul numeric în care parabola se află sub axă.
INEGALITĂȚI PĂTRATE. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE
Funcția pătratică este o funcție de forma: ,
Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Ramurile sale sunt îndreptate în sus dacă și în jos dacă:
Tipuri de inegalități pătratice:
Toate inegalitățile pătratice sunt reduse la următoarele patru tipuri:
Algoritm de rezolvare:
Algoritm | Exemplu: |
1) Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare inegalității (pur și simplu schimbăm semnul inegalității în semnul egal " "). | |
2) Să găsim rădăcinile acestei ecuații. | |
3) Marcați rădăcinile pe axă și arată schematic orientarea ramurilor parabolei („sus” sau „jos”) | ![]() |
4) Să plasăm semne pe axa corespunzătoare semnului funcției pătratice: unde parabola este deasupra axei, punem „ ”, iar unde dedesubt - „ „. | ![]() |
5) Notează intervalul (intervalele) corespunzător lui „ ” sau „ ”, în funcție de semnul de inegalitate. Dacă inegalitatea nu este strictă, rădăcinile sunt incluse în interval dacă este strictă, nu sunt; |