feluri modele matematice
În funcție de ce mijloace, în ce condiții și în raport cu ce obiecte de cunoaștere se realizează capacitatea modelelor de a reflecta realitatea, apare marea lor diversitate și odată cu ea clasificări. Prin generalizarea clasificărilor existente, vom identifica modele de bază pe baza aparatului matematic utilizat, pe baza cărora se elaborează modele speciale (Figura 8.1).
Figura 8.1 - Clasificarea formală a modelelor
Modelele matematice prezintă obiectele studiate (procese, sisteme) sub formă de relații funcționale explicite: egalități și inegalități algebrice, integrale și diferențiale, diferențe finite și alte expresii matematice (legea distribuției unei variabile aleatoare, modele de regresie etc. ), precum și logica matematică a relațiilor.
În funcție de cele două trăsături fundamentale ale construirii unui model matematic - tipul de descriere a relațiilor cauză-efect și modificările acestora în timp - se disting modele deterministe și stocastice, statice și dinamice (Figura 8.2).
Scopul diagramei prezentate în figură este de a afișa următoarele caracteristici:
1) modelele matematice pot fi atât deterministe, cât și stocastice;
2) modelele deterministe și stocastice pot fi atât statice, cât și dinamice.
Modelul matematic se numește determinist (determinist), dacă toți parametrii și variabilele acestuia sunt cantități determinate în mod unic și este îndeplinită și condiția de certitudine completă a informațiilor. În caz contrar, în condiții de incertitudine a informațiilor, când parametrii și variabilele modelului sunt variabile aleatoare, modelul se numește stocastic (probabilistic).
Figura 8.2 – Clase de modele matematice
Modelul se numește dinamic, dacă cel puțin o variabilă se modifică pe perioade de timp și static, dacă se acceptă ipoteza că variabilele nu se modifică pe perioade de timp.
În cel mai simplu caz modele de echilibru acționează sub forma unei ecuații de bilanț, unde în partea stângă este suma oricăror încasări, iar în dreapta este partea de cheltuieli, tot sub forma unei sume. De exemplu, așa este prezentat bugetul anual al unei organizații.
Pe baza datelor statistice, se pot construi nu numai modele de bilanţ, ci şi modele de corelaţie şi regresie.
Dacă funcția Y depinde nu numai de variabilele x 1, x 2, ... x n, ci și de alți factori, legătura dintre Y și x 1, x 2, ... x n este inexactă sau corelațională, spre deosebire de conexiunea exactă sau funcțională. Corelative, de exemplu, în cele mai multe cazuri sunt conexiunile observate între parametrii de ieșire ai OPS și factorii mediului său intern și extern (vezi Subiectul 5).
Modele de corelare-regresie sunt obținute prin studierea influenței unui întreg complex de factori asupra valorii unei anumite caracteristici prin utilizarea aparaturii statistice. În acest caz, sarcina este nu numai de a stabili o relație de corelație, ci și de a exprima această relație analitic, adică de a selecta ecuații care descriu această dependență de corelație (ecuația de regresie).
Pentru a găsi valorile numerice ale parametrilor ecuației de regresie, se utilizează metoda celor mai mici pătrate. Esența acestei metode este de a alege o dreaptă astfel încât suma abaterilor pătrate ale ordonatelor Y ale punctelor individuale de la ea să fie cea mai mică.
Modelele de corelație-regresie sunt adesea folosite în studiul fenomenelor atunci când este nevoie de a stabili o relație între caracteristicile relevante din două sau mai multe serii. În acest caz, se utilizează în principal regresia liniară pereche și multiplă a formei
y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b.
Ca urmare a aplicării metodei celor mai mici pătrate, se stabilesc valorile parametrilor a sau a 1 , a 2 , ..., a n și b, iar apoi acuratețea aproximării și semnificația ecuației de regresie rezultate sunt evaluate.
Este alocat un grup special modele grafico-analitice . Folosesc diverse imagini grafice și, prin urmare, au o claritate bună.
Teoria graficelor este una dintre teoriile matematicii discrete care studiază graficele, care sunt înțelese ca un set de puncte și linii care le conectează. Un grafic este un obiect matematic independent (introdus pentru prima dată de D. Koenig). Modelele de arbore și de rețea sunt cel mai adesea construite pe baza teoriei grafurilor.
Un model de arbore (arborele) este un grafic conectat nedirecționat care nu conține bucle sau cicluri. Un exemplu de astfel de model este un arbore de obiective.
Modelele de rețea și-au găsit o aplicare largă în managementul muncii. Modelele de rețea (grafice) reflectă succesiunea lucrărilor și durata fiecărei lucrări (Figura 8.3).
Figura 8.3 - Model de rețea de producție a muncii
Fiecare linie a diagramei de rețea este o muncă. Numărul de lângă el indică durata execuției sale.
Modelele de rețea fac posibilă găsirea așa-numitei căi critice și optimizarea programului de lucru în timp cu restricții asupra altor resurse.
Modelele de rețea pot fi deterministe sau stocastice. În acest din urmă caz, durata lucrării este specificată de legile de distribuție a variabilelor aleatoare.
Modele de optimizare servesc la determinarea traiectoriei optime pentru ca sistemul să-și atingă scopul, impunând în același timp anumite restricții asupra controlului comportamentului și mișcării sale. În acest caz, modelele de optimizare descriu diferite tipuri de probleme de găsire a extremului unei anumite funcții obiectiv (criteriul de optimizare).
Pentru identificarea modului optim de realizare a obiectivelor de management în condiții de resurse limitate - tehnic, material, de muncă și financiar - se folosesc metode de cercetare operațională. Acestea includ metode de programare matematică (liniară și neliniară, întreagă, programare dinamică și stocastică), metode analitice și probabilistic-statistice, metode de rețea, metode de teoria cozilor, teoria jocurilor (teoria situațiilor conflictuale) etc.
Modelele de optimizare sunt utilizate pentru planificarea volumului și a programării, gestionarea stocurilor, distribuția resurselor și a muncii, înlocuirea, parametrizarea și standardizarea echipamentelor, distribuția fluxurilor de provizii de mărfuri pe rețeaua de transport și alte sarcini de management.
Una dintre principalele realizări ale teoriei cercetării operaționale este tipificarea modelelor de management și a metodelor de rezolvare a problemelor. De exemplu, pentru a rezolva o problemă de transport, în funcție de dimensiunea acesteia, s-au dezvoltat metode standard - metoda Vogel, metoda potențialului, metoda simplex. De asemenea, la rezolvarea problemei gestiunii stocurilor, în funcție de formularea acesteia, se pot folosi metode analitice și probabilistic-statistice, metode de programare dinamică și stocastică.
În management, o importanță deosebită se acordă metodelor de planificare a rețelei. Aceste metode au făcut posibilă găsirea unui limbaj nou și foarte convenabil pentru descrierea, modelarea și analiza lucrărilor și proiectelor complexe în mai multe etape. În cercetarea operațională, un loc semnificativ este acordat îmbunătățirii controlului sistemelor complexe folosind metode de teorie a cozilor de așteptare (vezi Secțiunea 8.3) și aparatul proceselor Markov.
Modele ale proceselor aleatoare Markov- un sistem de ecuații diferențiale care descriu funcționarea unui sistem sau a proceselor sale sub forma unui set de stări ordonate de-a lungul unei anumite traiectorii de comportament a sistemului. Această clasă de modele este utilizată pe scară largă în modelarea matematică a funcționării sistemelor complexe.
Modele de teoria jocurilor servesc la selectarea strategiei optime în condiții de informații aleatorii limitate sau de incertitudine completă.
Un joc este un model matematic al unei situații conflictuale reale, a cărei rezolvare se realizează conform anumite reguli, algoritmi care descriu o anumită strategie de comportament a unui factor de decizie în condiții de incertitudine.
Există „jocuri cu natura” și „jocuri cu inamicul”. Pe baza situației, se determină metode și criterii de evaluare a luării deciziilor. Astfel, atunci când „te joci cu natura”, sunt utilizate următoarele criterii: Laplace, maximin (criteriul Wald) și minimax, Hurwitz și Savage și o serie de alte reguli algoritmice. În „jocurile cu adversar”, pentru a lua decizii sunt folosite matrice de plată, criterii maximin și minimax, precum și transformări matematice speciale, datorită faptului că decidentul se confruntă cu un adversar neprietenos.
Tipurile de modele matematice considerate nu acoperă toată diversitatea lor posibilă, ci doar caracterizează specii individualeîn funcţie de aspectul clasificării adoptat. V.A. Kardash a încercat să creeze un sistem de clasificare a modelelor în funcție de patru aspecte ale detaliilor (Figura 8.4).
A - modele fără diferențiere spațială a parametrilor;
B - modele cu diferențiere spațială a parametrilor
Figura 8.4 - Clasificarea modelelor după patru aspecte de detaliu
Odată cu dezvoltarea instrumentelor de calcul, una dintre cele mai comune metode de luare a deciziilor este un joc de afaceri, care este un experiment numeric cu participarea activă a unei persoane. Există sute de jocuri de afaceri. Ele sunt folosite pentru a studia o serie de probleme în management, economie, teoria organizațională, psihologie, finanțe și comerț.
MODEL MATEMATIC - reprezentare a unui fenomen sau proces studiat în cunoștințe științifice concrete în limbajul conceptelor matematice. În acest caz, se așteaptă să se obțină o serie de proprietăți ale fenomenului studiat prin studiul caracteristicilor matematice reale ale modelului. Construcția lui M.m. este dictată cel mai adesea de necesitatea de a avea o analiză cantitativă a fenomenelor și proceselor studiate, fără de care, la rândul său, este imposibil să se facă predicții verificabile experimental despre cursul acestora.
Procesul de modelare matematică, de regulă, trece prin următoarele etape. În prima etapă sunt identificate conexiuni între principalii parametri ai viitorului M.m. Vorbim în primul rând despre o analiză calitativă a fenomenelor studiate și formularea de modele care leagă principalele obiecte de cercetare. Pe această bază sunt identificate obiectele care pot fi descrise cantitativ. Etapa se încheie cu construirea unui model ipotetic, cu alte cuvinte, înregistrarea în limbajul conceptelor matematice a ideilor calitative despre relațiile dintre principalele obiecte ale modelului, care pot fi caracterizate cantitativ.
În a doua etapă, sunt studiate problemele matematice reale la care conduce modelul ipotetic construit. Principalul lucru în această etapă este obținerea unor consecințe teoretice verificabile empiric (rezolvarea problemei directe) ca rezultat al analizei matematice a modelului. În același timp, sunt adesea cazuri când, pentru a construi și a studia M.m. V diverse zone specific- cunoștințe științifice se folosește același aparat matematic (de exemplu, ecuații diferențiale) și apar probleme matematice de același tip, deși foarte netriviale în fiecare caz concret. În plus, în această etapă, devine de mare importanță utilizarea calculatoarelor (calculatoare) de mare viteză, ceea ce face posibilă obținerea de soluții aproximative la probleme, adesea imposibile în cadrul matematicii pure, cu un grad de precizie inaccesibil anterior ( fără utilizarea unui computer).
A treia etapă se caracterizează prin activități de identificare a gradului de adecvare a M.M. ipotetic construit. acele fenomene și procese pentru care s-a intenționat să se studieze. Și anume, dacă toți parametrii modelului au fost specificați, cercetătorii încearcă să afle în ce măsură, în limitele acurateței observaționale, rezultatele lor sunt în concordanță cu consecințele teoretice ale modelului. Abaterile dincolo de limitele preciziei observaționale indică inadecvarea modelului. Cu toate acestea, există adesea cazuri când, la construirea unui model, rămân o serie de parametri ai acestuia
incert. Problemele în care caracteristicile parametrice ale modelului sunt stabilite în așa fel încât consecințele teoretice să fie comparabile, în limitele acurateței observaționale, cu rezultatele testelor empirice se numesc probleme inverse.
În a patra etapă, ținând cont de identificarea gradului de adecvare a modelului ipotetic construit și apariția de noi date experimentale asupra fenomenelor studiate, are loc analiza și modificarea ulterioară a modelului. Aici decizia luată variază de la respingerea necondiționată a instrumentelor matematice aplicate până la acceptarea modelului construit ca fundament pentru construirea unei teorii științifice fundamental noi.
Mai întâi M.m. a apărut în știința antică. Astfel, pentru a modela sistemul solar, matematicianul și astronomul grec Eudoxus a dat fiecărei planete patru sfere, a căror combinație a mișcărilor a creat un hipoped - o curbă matematică similară mișcării observate a planetei. Deoarece, totuși, acest model nu a putut explica toate anomaliile observate în mișcarea planetelor, a fost ulterior înlocuit cu modelul epiciclic al lui Apollonius din Perga. Ultimul model a fost folosit în studiile sale de Hiparh, iar apoi, după ce l-a supus unor modificări, de Ptolemeu. Acest model, ca și predecesorii săi, s-a bazat pe credința că planetele suferă mișcări circulare uniforme, a căror suprapunere a explicat neregulile aparente. De remarcat că modelul copernican era fundamental nou doar în sens calitativ (dar nu ca M.M.). Și numai Kepler, pe baza observațiilor lui Tycho Brahe, a construit un nou M.M. Sistemul solar, dovedind că planetele se mișcă nu în orbite circulare, ci pe orbite eliptice.
În prezent, cele mai adecvate sunt considerate a fi cele construite pentru a descrie mecanice și fenomene fizice. Cu privire la adecvarea lui M.m. în afara fizicii se poate, cu unele excepții, să vorbească cu multă prudență. Cu toate acestea, fixarea naturii ipotetice și, adesea, pur și simplu inadecvarea lui M.m. în diverse domenii ale cunoașterii, rolul lor în dezvoltarea științei nu trebuie subestimat. Există adesea cazuri când chiar și modele care sunt departe de a fi adecvate au organizat și stimulat în mod semnificativ cercetările ulterioare, alături de concluzii eronate care conțineau și grăunte de adevăr care justificau pe deplin eforturile depuse pentru dezvoltarea acestor modele.
Literatură:
Modelare matematică. M., 1979;
Ruzavin G.I. Matematizarea cunoștințelor științifice. M., 1984;
Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Ecuații diferențiale în ecologie: reflecție istorică și metodologică // Întrebări ale istoriei științelor naturale și tehnologiei. 1997. Nr. 3.
Dicţionar de termeni filosofici. Ediția științifică a profesorului V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, p. 310-311.
NOTE DE CURS
Conform ratei
„Modelarea matematică a mașinilor și a sistemelor de transport”
Cursul examinează aspecte legate de modelarea matematică, forma și principiul reprezentării modelelor matematice. Sunt luate în considerare metodele numerice de rezolvare a sistemelor neliniare unidimensionale. Sunt acoperite problemele modelării computerizate și ale experimentului de calcul. Se au în vedere metode de prelucrare a datelor obținute în urma experimentelor științifice sau industriale; cercetarea diferitelor procese, identificarea tiparelor în comportamentul obiectelor, proceselor și sistemelor. Sunt luate în considerare metode de interpolare și aproximare a datelor experimentale. Sunt luate în considerare aspectele legate de modelarea computerizată și soluționarea sistemelor dinamice neliniare. În special, sunt luate în considerare metode de integrare numerică și de rezolvare a ecuațiilor diferențiale obișnuite de ordinul întâi, al doilea și superior.
Curs: Modelare matematică. Forma și principiile de reprezentare a modelelor matematice
Prelegerea acoperă probleme generale modelare matematică. Se oferă o clasificare a modelelor matematice.
Computerul a intrat ferm în viața noastră și practic nu există nicio zonă de activitate umană în care să nu fie folosit un computer. Calculatoarele sunt acum utilizate pe scară largă în procesul de creare și cercetare a mașinilor noi, noi procese tehnologiceși căutându-le optiuni optime; la rezolvarea problemelor economice, la rezolvarea problemelor de planificare si management al productiei la diferite niveluri. Crearea de obiecte mari în tehnologia rachetelor, fabricarea aeronavelor, construcțiile navale, precum și proiectarea de baraje, poduri etc. este în general imposibilă fără utilizarea computerelor.
Pentru a utiliza un calculator în rezolvarea problemelor aplicate, în primul rând, problema aplicată trebuie „tradusă” într-un limbaj matematic formal, adică. pentru un obiect, proces sau sistem real trebuie construit modelul său matematic.
Cuvântul „Model” provine din latinescul modus (copie, imagine, contur). Modelarea este înlocuirea unui obiect A cu un alt obiect B. Obiectul înlocuit A se numește obiect original sau de modelare, iar înlocuitorul B se numește model. Cu alte cuvinte, un model este un obiect substitut pentru obiectul original, care oferă studiul unor proprietăți ale originalului.
Scopul modelării este obținerea, procesarea, prezentarea și utilizarea informațiilor despre obiecte care interacționează între ele și Mediul extern; iar modelul acționează aici ca un mijloc de înțelegere a proprietăților și modelelor de comportament ale unui obiect.
Simularea este utilizată pe scară largă în domenii diverse activitatea umană, în special în domeniile proiectării și managementului, unde procesele de luare a deciziilor eficiente pe baza informațiilor primite sunt deosebite.
Un model este întotdeauna construit cu un scop specific, care influențează care proprietăți ale unui fenomen obiectiv sunt semnificative și care nu. Modelul este ca o proiecție a realității obiective dintr-un anumit unghi. Uneori, în funcție de obiective, puteți obține o serie de proiecții ale realității obiective care intră în conflict. Acest lucru este tipic, de regulă, pentru sistemele complexe în care fiecare proiecție selectează ceea ce este esențial pentru un anumit scop dintr-un set de cele neesențiale.
Teoria modelării este o ramură a științei care studiază modalități de a studia proprietățile obiectelor originale pe baza înlocuirii lor cu alte obiecte model. Teoria modelării se bazează pe teoria similitudinii. La modelare, asemănarea absolută nu are loc și se străduiește doar să se asigure că modelul reflectă suficient de bine aspectul funcționării obiectului studiat. Asemănarea absolută poate apărea numai atunci când un obiect este înlocuit cu altul exact la fel.
Toate modelele pot fi împărțite în două clase:
1. real,
2. ideal.
La rândul lor, modelele reale pot fi împărțite în:
1. la scară completă,
2. fizic,
3. matematică.
Modelele ideale pot fi împărțite în:
1. vizual,
2. iconic,
3. matematică.
Modelele reale la scară reală sunt obiecte reale, procese și sisteme pe care se desfășoară experimente științifice, tehnice și industriale.
Modelele fizice reale sunt modele, manechine care se reproduc proprietăți fizice originale (modele cinematice, dinamice, hidraulice, termice, electrice, de iluminat).
Cele matematice reale sunt modelele analogice, structurale, geometrice, grafice, digitale și cibernetice.
Modelele vizuale ideale sunt diagramele, hărțile, desenele, graficele, graficele, analogii, modelele structurale și geometrice.
Modelele de semne ideale sunt simbolurile, alfabetul, limbaje de programare, notația ordonată, notația topologică, reprezentarea în rețea.
Modelele matematice ideale sunt modele analitice, funcționale, de simulare și combinate.
În clasificarea de mai sus, unele modele au o dublă interpretare (de exemplu, analogică). Toate modelele, cu excepția celor la scară largă, pot fi combinate într-o singură clasă de modele mentale, deoarece sunt un produs al gândirii abstracte umane.
Să ne oprim asupra unuia dintre cele mai universale tipuri de modelare - matematică, care potrivește procesul fizic simulat cu un sistem de relații matematice, a cărui soluție ne permite să obținem un răspuns la întrebarea despre comportamentul unui obiect fără a crea un model fizic, care se dovedește adesea a fi costisitor și ineficient.
Modelarea matematică este un mijloc de a studia un obiect, proces sau sistem real prin înlocuirea acestora cu un model matematic care este mai convenabil pentru cercetarea experimentală folosind un computer.
Un model matematic este o reprezentare aproximativă a obiectelor, proceselor sau sistemelor reale, exprimată în termeni matematici și păstrând caracteristicile esențiale ale originalului. Modelele matematice sub formă cantitativă, folosind constructe logice și matematice, descriu proprietățile de bază ale unui obiect, proces sau sistem, parametrii acestuia, conexiunile interne și externe.
În general, un model matematic al unui obiect, proces sau sistem real este reprezentat ca un sistem de funcționale
Ф i (X,Y,Z,t)=0,
unde X este vectorul variabilelor de intrare, X= t,
Y - vectorul variabilelor de ieșire, Y= t,
Z - vector de influențe externe, Z= t,
t - coordonata de timp.
Construcția unui model matematic constă în determinarea legăturilor dintre anumite procese și fenomene, crearea unui aparat matematic care să permită exprimarea cantitativ și calitativ a relației dintre anumite procese și fenomene, dintre cele de interes pentru un specialist. mărimi fizice, și factorii care influențează rezultatul final.
De obicei, sunt atât de multe încât este imposibil să introduci întregul lor set în model. La construirea unui model matematic, sarcina cercetării este de a identifica și exclude din considerare factorii care nu afectează semnificativ rezultatul final (un model matematic include de obicei un număr semnificativ mai mic de factori decât în realitate). Pe baza datelor experimentale se propun ipoteze cu privire la relația dintre mărimile care exprimă rezultatul final și factorii introduși în modelul matematic. O astfel de conexiune este adesea exprimată prin sisteme de ecuații diferențiale parțiale (de exemplu, în probleme de mecanică a solidelor, lichidelor și gazelor, teoria filtrării, conductivitatea termică, teoria câmpurilor electrostatice și electrodinamice).
Scopul final Această etapă este formularea unei probleme matematice, a cărei rezolvare, cu acuratețea necesară, exprimă rezultatele de interes pentru specialist.
Forma și principiile reprezentării unui model matematic depind de mulți factori.
Pe baza principiilor de construcție, modelele matematice sunt împărțite în:
1. analitic;
2. imitaţie.
În modelele analitice, procesele de funcționare a obiectelor, proceselor sau sistemelor reale sunt scrise sub forma unor dependențe funcționale explicite.
Modelul analitic este împărțit în tipuri în funcție de problema matematică:
1. ecuații (algebrice, transcendentale, diferențiale, integrale),
2. probleme de aproximare (interpolare, extrapolare, integrare și diferențiere numerică),
3. probleme de optimizare,
4. probleme stocastice.
Cu toate acestea, pe măsură ce obiectul de modelare devine mai complex, construirea unui model analitic se transformă într-o problemă insolubilă. Apoi, cercetătorul este forțat să folosească modelarea prin simulare.
În modelarea prin simulare, funcționarea obiectelor, proceselor sau sistemelor este descrisă de un set de algoritmi. Algoritmii simulează fenomene reale elementare care alcătuiesc un proces sau un sistem, păstrând în același timp structura și secvența lor logică în timp. Modelarea prin simulare permite, din datele sursă, să se obțină informații despre stările unui proces sau sistem în anumite momente în timp, dar prezicerea comportamentului obiectelor, proceselor sau sistemelor este dificilă aici. Putem spune că modelele de simulare sunt experimente computaționale bazate pe computer cu modele matematice care imită comportamentul obiectelor, proceselor sau sistemelor reale.
În funcție de natura proceselor și sistemelor reale studiate, modelele matematice pot fi:
1. determinist,
2. stocastică.
În modelele deterministe, se presupune că nu există influențe aleatorii, elementele modelului (variabile, conexiuni matematice) sunt stabilite destul de precis, iar comportamentul sistemului poate fi determinat cu exactitate. Atunci când se construiesc modele deterministe, acestea sunt cel mai des folosite ecuații algebrice, ecuații integrale, algebră matriceală.
Modelul stocastic ia în considerare natura aleatorie a proceselor din obiectele și sistemele studiate, care este descrisă prin metode de teoria probabilităților și statistica matematică.
Pe baza tipului de informații de intrare, modelele sunt împărțite în:
1. continuu,
2. discret.
Dacă informațiile și parametrii sunt continui, iar conexiunile matematice sunt stabile, atunci modelul este continuu. Și invers, dacă informațiile și parametrii sunt discreti, iar conexiunile sunt instabile, atunci modelul matematic este discret.
Pe baza comportamentului modelelor în timp, acestea sunt împărțite în:
1. static,
2. dinamic.
Modelele statice descriu comportamentul unui obiect, proces sau sistem în orice moment. Modelele dinamice reflectă comportamentul unui obiect, proces sau sistem în timp.
Pe baza gradului de corespondență dintre un model matematic și un obiect, proces sau sistem real, modelele matematice se împart în:
1. izomorfe (identice ca formă),
2. homomorf (diferit ca formă).
Un model se numește izomorf dacă există o corespondență completă element cu element între el și un obiect, proces sau sistem real. Omomorf – dacă există o corespondență doar între cele mai semnificative componente obiect și model.
În viitor, pentru a defini pe scurt tipul de model matematic din clasificarea de mai sus, vom folosi următoarea notație:
Prima literă:
D - determinist,
C - stocastic.
A doua scrisoare:
N - continuu,
D - discret.
A treia scrisoare:
A - analitic,
Și - imitație.
1. Nu există (mai precis, nu este luată în considerare) influența proceselor aleatorii, adică. model determinist (D).
2. Informațiile și parametrii sunt continui, adică. model - continuu (N),
3. Funcționarea modelului mecanismului manivelei este descrisă sub formă de ecuații transcendentale neliniare, i.e. model - analitic (A)
2. Prelegere: Caracteristici ale construirii modelelor matematice
Prelegerea descrie procesul de construire a unui model matematic. Este dat un algoritm verbal al procesului.
Pentru a utiliza un calculator în rezolvarea problemelor aplicate, în primul rând, problema aplicată trebuie „tradusă” într-un limbaj matematic formal, adică. pentru un obiect, proces sau sistem real trebuie construit modelul său matematic.
Modelele matematice sub formă cantitativă, folosind constructe logice și matematice, descriu proprietățile de bază ale unui obiect, proces sau sistem, parametrii acestuia, conexiunile interne și externe.
Pentru a construi un model matematic aveți nevoie de:
1. analizați cu atenție un obiect sau un proces real;
2. evidențiați caracteristicile și proprietățile sale cele mai semnificative;
3. definirea variabilelor, i.e. parametri ale căror valori afectează principalele caracteristici și proprietăți ale obiectului;
4. descrie dependența proprietăților de bază ale unui obiect, proces sau sistem de valorile variabilelor folosind relații logico-matematice (ecuații, egalități, inegalități, construcții logico-matematice);
5. evidențiază conexiunile interne ale unui obiect, proces sau sistem folosind restricții, ecuații, egalități, inegalități, construcții logice și matematice;
6. identifica legăturile externe și descrie-le folosind restricții, ecuații, egalități, inegalități, construcții logice și matematice.
Modelarea matematică, pe lângă studierea unui obiect, proces sau sistem și întocmirea unei descrieri matematice a acestuia, include și:
1. construirea unui algoritm care modelează comportamentul unui obiect, proces sau sistem;
2. verificarea adecvării modelului și a obiectului, procesului sau sistemului pe baza experimentelor de calcul și la scară reală;
3. ajustare model;
4. utilizarea modelului.
Descrierea matematică a proceselor și sistemelor studiate depinde de:
1. natura unui proces sau sistem real și se întocmește pe baza legilor fizicii, chimiei, mecanicii, termodinamicii, hidrodinamicii, ingineriei electrice, teoria plasticității, teoria elasticității etc.
2. fiabilitatea și acuratețea necesară studiului și cercetării proceselor și sistemelor reale.
La etapa selectării unui model matematic se stabilesc: liniaritatea și neliniaritatea unui obiect, proces sau sistem, dinamism sau staticitate, staționaritate sau non-staționaritate, precum și gradul de determinism al obiectului sau procesului studiat. În modelarea matematică, se face abstracție deliberată din natura fizică specifică a obiectelor, proceselor sau sistemelor și se concentrează în principal pe studiul dependențelor cantitative dintre cantitățile care descriu aceste procese.
Un model matematic nu este niciodată complet identic cu obiectul, procesul sau sistemul luat în considerare. Bazat pe simplificare și idealizare, este o descriere aproximativă a obiectului. Prin urmare, rezultatele obținute în urma analizei modelului sunt aproximative. Precizia lor este determinată de gradul de adecvare (conformitate) dintre model și obiect.
Construcția unui model matematic începe de obicei cu construirea și analiza celui mai simplu și mai grosier model matematic al obiectului, procesului sau sistemului luat în considerare. În viitor, dacă este necesar, modelul este rafinat și corespondența acestuia cu obiectul este mai completă.
Să luăm un exemplu simplu. Trebuie să determinați suprafața birou. De obicei, acest lucru se face prin măsurarea lungimii și lățimii sale, apoi înmulțind numerele rezultate. Această procedură elementară înseamnă de fapt următoarele: un obiect real (suprafața tabelului) este înlocuit cu un model matematic abstract - un dreptunghi. Dimensiunile obținute prin măsurarea lungimii și lățimii suprafeței mesei sunt atribuite dreptunghiului, iar aria unui astfel de dreptunghi este considerată aproximativ ca fiind aria necesară a tabelului.
Cu toate acestea, modelul dreptunghi pentru un birou este cel mai simplu, cel mai grosier model. Dacă luați o abordare mai serioasă a problemei, înainte de a utiliza un model dreptunghi pentru a determina zona tabelului, acest model trebuie verificat. Verificările pot fi efectuate după cum urmează: măsurați lungimile laturilor opuse ale mesei, precum și lungimile diagonalelor sale și comparați-le între ele. Dacă, cu gradul de precizie necesar, lungimile laturilor opuse și lungimile diagonalelor sunt egale în perechi, atunci suprafața mesei poate fi considerată într-adevăr drept un dreptunghi. În caz contrar, modelul dreptunghi va trebui respins și înlocuit cu un model patrulater general. Cu o cerință mai mare de precizie, poate fi necesar să rafinați și mai mult modelul, de exemplu, pentru a ține cont de rotunjirea colțurilor mesei.
Cu ajutorul acestuia exemplu simplu s-a demonstrat că modelul matematic nu este determinat în mod unic de obiectul, procesul sau sistemul studiat. Pentru același tabel putem adopta fie un model dreptunghiular, fie un model mai complex al unui patrulater general, fie un patrulater cu colțurile rotunjite. Alegerea unui model sau altuia este determinată de cerința de precizie. Cu o precizie crescândă, modelul trebuie să fie complicat, luând în considerare caracteristicile noi și noi ale obiectului, procesului sau sistemului studiat.
Să luăm în considerare un alt exemplu: studierea mișcării unui mecanism manivelă (Fig. 2.1).
Orez. 2.1.
Pentru analiza cinematică a acestui mecanism, în primul rând, este necesară construirea modelului său cinematic. Pentru aceasta:
1. Înlocuim mecanismul cu diagrama lui cinematică, unde toate legăturile sunt înlocuite cu conexiuni rigide;
2. Folosind această diagramă, derivăm ecuația de mișcare a mecanismului;
3. Diferențiând acestea din urmă, obținem ecuațiile vitezelor și accelerației, care sunt ecuații diferențiale de ordinul I și II.
Să scriem aceste ecuații:
unde C 0 este poziția extremă dreaptă a cursorului C:
r – raza manivelei AB;
l – lungimea bielei BC;
– unghiul de rotire a manivelei;
Ecuațiile transcendentale rezultate reprezintă un model matematic al mișcării unui mecanism cu manivelă axială plată, bazat pe următoarele ipoteze simplificatoare:
1. nu ne-au interesat formele structurale și dispunerea maselor incluse în mecanismul corpurilor și am înlocuit toate corpurile mecanismului cu segmente drepte. De fapt, toate verigile mecanismului au masă și destul formă complexă. De exemplu, o biela este un ansamblu complex, a cărui formă și dimensiuni, desigur, vor afecta mișcarea mecanismului;
2. la construirea unui model matematic al mișcării mecanismului luat în considerare, nu am ținut cont și de elasticitatea corpurilor incluse în mecanism, adică. toate legăturile erau considerate corpuri abstracte absolut rigide. În realitate, toate corpurile incluse în mecanism sunt corpuri elastice. Când mecanismul se mișcă, acestea vor fi cumva deformate, iar în ele pot apărea chiar vibrații elastice. Toate acestea, desigur, vor afecta și mișcarea mecanismului;
3. nu am ținut cont de eroarea de fabricație a legăturilor, golurile din perechile cinematice A, B, C etc.
Astfel, este important de subliniat încă o dată că, cu cât sunt mai mari cerințele pentru acuratețea rezultatelor rezolvării unei probleme, cu atât mai mare este nevoia de a ține cont de caracteristicile obiectului, procesului sau sistemului studiat atunci când se construiește un model matematic. Cu toate acestea, este important să ne oprim aici la timp, deoarece un model matematic complex se poate transforma într-o problemă dificil de rezolvat.
Un model este cel mai ușor de construit atunci când legile care determină comportamentul și proprietățile unui obiect, proces sau sistem sunt bine cunoscute și există o experiență practică vastă în aplicarea lor.
Mai mult o situație dificilă apare atunci când cunoștințele noastre despre obiectul, procesul sau sistemul studiat sunt insuficiente. În acest caz, atunci când se construiește un model matematic, este necesar să se facă ipoteze suplimentare care sunt de natura ipotezelor; un astfel de model se numește ipotetic. Concluziile obținute în urma studierii unui astfel de model ipotetic sunt condiționate. Pentru a verifica concluziile, este necesar să se compare rezultatele studierii modelului pe un computer cu rezultatele unui experiment la scară completă. Astfel, problema aplicabilității unui anumit model matematic la studiul obiectului, procesului sau sistemului în cauză nu este o problemă matematică și nu poate fi rezolvată prin metode matematice.
Principalul criteriu al adevărului este experimentul, practica în sensul cel mai larg al cuvântului.
Construirea unui model matematic în probleme aplicate este una dintre cele mai complexe și importante etape de lucru. Experiența arată că, în multe cazuri, alegerea modelului potrivit înseamnă rezolvarea problemei cu mai mult de jumătate. Dificultatea acestei etape este că necesită o combinație de cunoștințe matematice și speciale. Prin urmare, este foarte important ca atunci când rezolvă probleme aplicate, matematicienii să aibă cunoștințe speciale despre obiect, iar partenerii lor, specialiști, să aibă o anumită cultură matematică, experiență de cercetare în domeniul lor, cunoștințe de calculatoare și programare.
Curs 3. Modelare computerizată și experiment de calcul. Rezolvarea modelelor matematice
Modelarea computerizată cum metoda noua cercetarea stiintifica se bazeaza pe:
1. construirea de modele matematice pentru a descrie procesele studiate;
2. folosind cele mai noi calculatoare cu viteză mare (milioane de operații pe secundă) și capabile să conducă un dialog cu o persoană.
Esența modelării pe computer este următoarea: pe baza unui model matematic, se desfășoară o serie de experimente de calcul folosind un computer, adică. se studiază proprietățile obiectelor sau proceselor, se găsesc parametrii optimi și modurile de funcționare ale acestora, iar modelul este rafinat. De exemplu, având o ecuație care descrie cursul unui anumit proces, puteți modifica coeficienții acestuia, condițiile inițiale și la limită și puteți studia cum se va comporta obiectul. Mai mult, este posibil să se prezică comportamentul unui obiect în diferite condiții.
Un experiment de calcul vă permite să înlocuiți un experiment la scară completă scump cu calcule computerizate. Îți permite timp scurtși să efectueze cercetări fără costuri materiale semnificative un numar mare opțiuni pentru obiectul sau procesul proiectat pentru diferite moduri de funcționare a acestuia, ceea ce reduce semnificativ timpul de dezvoltare a sistemelor complexe și implementarea lor în producție.
Modelarea computerizată și experimentul computațional ca metodă nouă cercetare științifică forțează îmbunătățirea aparaturii matematice utilizate în construirea modelelor matematice, permite, folosind metode matematice, clarificarea și complicarea modelelor matematice. Cel mai promițător pentru realizarea unui experiment de calcul este utilizarea acestuia pentru rezolvarea problemelor științifice, tehnice și socio-economice majore ale vremurilor noastre (proiectarea reactoarelor pentru centrale nucleare, proiectarea barajelor și centralelor hidroelectrice, convertoare magnetohidrodinamice de energie și în domeniul economiei). - intocmirea unui plan echilibrat pentru o industrie, regiune, pentru tara etc.).
În unele procese în care un experiment natural este periculos pentru viața și sănătatea umană, un experiment de calcul este singurul posibil (fuziune termonucleară, explorarea spațiului, proiectarea și cercetarea industriilor chimice și a altor industrii).
Pentru a verifica caracterul adecvat al modelului matematic și al obiectului, procesului sau sistemului real, rezultatele cercetării computerizate sunt comparate cu rezultatele unui experiment pe un model prototip la scară completă. Rezultatele testului sunt folosite pentru a ajusta modelul matematic sau se rezolvă problema aplicabilității modelului matematic construit la proiectarea sau studiul obiectelor, proceselor sau sistemelor specificate.
În concluzie, subliniem încă o dată că modelarea computerizată și experimentul computațional fac posibilă reducerea studiului unui obiect „non-matematic” la rezolvarea unei probleme matematice. Acest lucru deschide posibilitatea utilizării unui aparat matematic bine dezvoltat în combinație cu o tehnologie de calcul puternică pentru a-l studia. Aceasta este baza pentru utilizarea matematicii și a computerelor pentru a înțelege legile lumii reale și a le folosi în practică.
În problemele de proiectare sau studiere a comportamentului obiectelor, proceselor sau sistemelor reale, modelele matematice sunt de obicei neliniare, deoarece ele trebuie să reflecte procese fizice reale neliniare care au loc în ele. Mai mult, parametrii (variabilele) acestor procese sunt interconectați prin legi fizice neliniare. Prin urmare, în problemele de proiectare sau studiere a comportamentului obiectelor, proceselor sau sistemelor reale, cel mai des sunt folosite modele matematice precum ADN-ul.
Conform clasificării date în cursul 1:
D – modelul este determinist; influența proceselor aleatoare este absentă (mai exact, nu este luată în considerare).
N – modelul continuu, informațiile și parametrii sunt continui.
A – model analitic, funcționarea modelului este descrisă sub formă de ecuații (liniare, neliniare, sisteme de ecuații, ecuații diferențiale și integrale).
Deci, am construit un model matematic al obiectului, procesului sau sistemului luat în considerare, de exemplu. a prezentat problema aplicată ca una matematică. După aceasta, începe a doua etapă de rezolvare a problemei aplicate - căutarea sau dezvoltarea unei metode de rezolvare a problemei matematice formulate. Metoda ar trebui să fie convenabilă pentru implementarea sa pe un computer, furnizați calitatea cerută solutii.
Toate metodele de rezolvare a problemelor matematice pot fi împărțite în 2 grupe:
1. metode exacte de rezolvare a problemelor;
2. metode numerice de rezolvare a problemelor.
În metodele exacte de rezolvare a problemelor matematice, răspunsul poate fi obținut sub formă de formule.
De exemplu, calcularea rădăcinilor ecuație pătratică:
sau, de exemplu, calcularea funcțiilor derivate:
sau calcul integrala definita:
Cu toate acestea, înlocuirea numerelor în formulă sub formă de finit zecimale, obținem în continuare valori aproximative ale rezultatului.
Pentru majoritatea problemelor întâlnite în practică, metodele exacte de rezolvare sunt fie necunoscute, fie oferă formule foarte greoaie. Cu toate acestea, ele nu sunt întotdeauna necesare. O problemă aplicată poate fi considerată practic rezolvată dacă suntem capabili să o rezolvăm cu gradul de acuratețe necesar.
Pentru rezolvarea unor astfel de probleme s-au dezvoltat metode numerice în care rezolvarea unor probleme matematice complexe se reduce la executarea secvenţială a unui număr mare de operaţii aritmetice simple. Dezvoltarea directă a metodelor numerice aparține matematicii computaționale.
Un exemplu de metodă numerică este metoda dreptunghiurilor pentru integrarea aproximativă, care nu necesită calcularea antiderivatei pentru integrand. În loc de integrală, se calculează suma finală în cuadratura:
x 1 =a – limita inferioară de integrare;
x n+1 =b – limita superioară de integrare;
n – numărul de segmente în care se împarte intervalul de integrare (a,b);
– lungimea unui segment elementar;
f(x i) – valoarea integrandului la capetele segmentelor de integrare elementară.
Cu cât este mai mare numărul de segmente n în care este împărțit intervalul de integrare, cu atât soluția aproximativă este mai apropiată de cea adevărată, adică. cu atât rezultatul este mai precis.
Astfel, în problemele aplicate, atât la utilizarea metodelor de rezolvare exactă, cât și la utilizarea metodelor de rezolvare numerică, rezultatele calculului sunt aproximative. Este important doar să vă asigurați că erorile se încadrează în precizia necesară.
Metodele numerice de rezolvare a problemelor matematice sunt cunoscute de multă vreme, chiar înainte de apariția computerelor, dar au fost rar folosite și doar în cazuri simple datorită complexităţii extreme a calculelor. Aplicație largă metodele numerice au devenit posibile datorită calculatoarelor.
În acest articol, oferim exemple de modele matematice. În plus, vom acorda atenție etapelor creării modelelor și vom analiza unele probleme asociate modelării matematice.
O altă întrebare pe care o avem sunt modelele matematice în economie, exemple ale cărora ne vom uita la definiție puțin mai târziu. Ne propunem să începem conversația cu însuși conceptul de „model”, să luăm în considerare pe scurt clasificarea lor și să trecem la întrebările noastre principale.
Conceptul de „model”
Auzim adesea cuvântul „model”. Ce este? Acest termen are multe definiții, iată doar trei dintre ele:
- un obiect specific care este creat pentru a primi și stoca informații, reflectând unele proprietăți sau caracteristici etc. ale originalului acestui obiect (acest obiect specific poate fi exprimat în forme diferite: mental, descriere folosind semne și așa mai departe);
- Un model înseamnă și o reprezentare a unei anumite situații, viață sau management;
- un model poate fi o copie redusă a unui obiect (sunt create pentru un studiu și analiză mai detaliată, deoarece modelul reflectă structura și relațiile).
Pe baza a tot ceea ce s-a spus mai devreme, putem trage o mică concluzie: modelul vă permite să studiați un sistem sau un obiect complex în detaliu.
Toate modelele pot fi clasificate în funcție de o serie de caracteristici:
- după domeniul de utilizare (educațional, experimental, științific și tehnic, joc, simulare);
- după dinamică (statică și dinamică);
- pe ramură de cunoaștere (fizică, chimică, geografică, istorică, sociologică, economică, matematică);
- prin metoda de prezentare (materială şi informaţională).
Modelele informaționale, la rândul lor, sunt împărțite în simbolice și verbale. Și cele simbolice - în computere și non-computer. Acum să trecem la o analiză detaliată a exemplelor de model matematic.
Model matematic
După cum ați putea ghici, un model matematic reflectă orice caracteristică a unui obiect sau fenomen folosind simboluri matematice speciale. Matematica este necesară pentru a modela tiparele lumii înconjurătoare în propriul limbaj specific.
Metoda de modelare matematică a apărut cu mult timp în urmă, cu mii de ani în urmă, odată cu apariția acestei științe. Cu toate acestea, imboldul pentru dezvoltare aceasta metoda modelarea a dat naștere apariției calculatoarelor (calculatoare electronice).
Acum să trecem la clasificare. De asemenea, poate fi efectuată după unele semne. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.
Ne propunem să ne oprim și să aruncăm o privire mai atentă la cea mai recentă clasificare, deoarece reflectă modelele generale de modelare și obiectivele modelelor create.
Modele descriptive
În acest capitol ne propunem să ne oprim mai în detaliu asupra modelelor matematice descriptive. Pentru a clarifica totul, va fi dat un exemplu.
Să începem cu faptul că acest tip poate fi numit descriptiv. Acest lucru se datorează faptului că pur și simplu facem calcule și prognoze, dar nu putem influența în niciun fel rezultatul evenimentului.
Un exemplu izbitor de model matematic descriptiv este calculul traiectoriei de zbor, vitezei și distanței față de Pământ a unei comete care a invadat întinderile sistemului nostru solar. Acest model este descriptiv, deoarece toate rezultatele obținute nu pot decât să ne avertizeze de orice pericol. Din păcate, nu putem influența rezultatul evenimentului. Cu toate acestea, pe baza calculelor obținute, este posibil să se ia orice măsuri pentru a conserva viața pe Pământ.
Modele de optimizare
Acum vom vorbi puțin despre modele economice și matematice, exemple ale cărora pot servi ca situații curente diferite. În acest caz vorbim despre modele care ajută la găsirea răspunsului corect în anumite condiții. Cu siguranță au niște parametri. Pentru a fi complet clar, să ne uităm la un exemplu din sectorul agricol.
Avem un grânar, dar boabele se strică foarte repede. În acest caz, trebuie să alegem condițiile potrivite de temperatură și să optimizăm procesul de depozitare.
Astfel, putem defini conceptul de „model de optimizare”. În sens matematic, este un sistem de ecuații (atât liniare, cât și nu), a cărui soluție ajută la găsirea soluție optimăîntr-un specific situatia economica. Ne-am uitat la un exemplu de model matematic (optimizare), dar aș dori să adaug: acest tip aparține clasei de probleme extreme, ele ajută la descrierea funcționării sistemului economic.
Să remarcăm încă o nuanță: modelele pot fi de natură diferită (vezi tabelul de mai jos).
Modele multicriteriale
Acum vă invităm să vorbiți puțin despre modelul matematic al optimizării multicriteriale. Înainte de aceasta, am dat un exemplu de model matematic pentru optimizarea unui proces conform oricărui criteriu, dar dacă există multe dintre ele?
Un exemplu izbitor de sarcină cu mai multe criterii este organizarea unei alimentații adecvate, sănătoase și în același timp economice pentru grupuri mari de oameni. Astfel de sarcini sunt adesea întâlnite în armată, cantinele școlare, Tabara de vara, spitale și așa mai departe.
Ce criterii ne sunt date în această sarcină?
- Alimentația ar trebui să fie sănătoasă.
- Cheltuielile cu mâncarea ar trebui să fie minime.
După cum puteți vedea, aceste obiective nu coincid deloc. Aceasta înseamnă că atunci când se rezolvă o problemă, este necesar să se caute o soluție optimă, un echilibru între două criterii.
Modele de jocuri
Când vorbim despre modele de joc, este necesar să înțelegem conceptul de „teoria jocurilor”. Mai simplu spus, aceste modele reflectă modele matematice ale conflictelor reale. Trebuie doar să înțelegi că, spre deosebire de un conflict real, modelul matematic al jocului are propriile reguli specifice.
Acum vă vom oferi un minim de informații din teoria jocurilor care vă vor ajuta să înțelegeți ce este un model de joc. Și astfel, modelul conține în mod necesar petreceri (două sau mai multe), care de obicei sunt numite jucători.
Toate modelele au anumite caracteristici.
Modelul de joc poate fi pereche sau multiplu. Dacă avem două subiecte, atunci conflictul este pereche; dacă sunt mai mulți, este multiplu. De asemenea, puteți distinge un joc antagonic, se mai numește și joc cu sumă zero. Acesta este un model în care câștigul unuia dintre participanți este egal cu pierderea celuilalt.
Modele de simulare
În această secțiune vom acorda atenție modelelor matematice de simulare. Exemple de sarcini includ:
- modelul dinamicii populației de microorganisme;
- modelul mișcării moleculare și așa mai departe.
În acest caz, vorbim despre modele cât mai apropiate de procesele reale. De în general, ele imită o anumită manifestare în natură. În primul caz, de exemplu, putem simula dinamica numărului de furnici dintr-o colonie. În același timp, puteți observa soarta fiecărui individ în parte. În acest caz, o descriere matematică este rar folosită; condițiile scrise sunt mai des prezente:
- după cinci zile femela depune ouă;
- după douăzeci de zile furnica moare și așa mai departe.
Astfel, ele sunt folosite pentru a descrie un sistem mare. O concluzie matematică este prelucrarea datelor statistice obținute.
Cerințe
Este foarte important să știi ce să faci această specie modelele au anumite cerințe, inclusiv cele prezentate în tabelul de mai jos.
Versatilitate | Această proprietate vă permite să utilizați același model atunci când descrieți grupuri similare de obiecte. Este important de menționat că modelele matematice universale sunt complet independente de natura fizică a obiectului studiat |
Adecvarea | Este important să înțelegeți aici că această proprietate vă permite să reproduceți procesele reale cât mai precis posibil. În sarcinile operaționale, această proprietate a modelării matematice este foarte importantă. Un exemplu de model este procesul de optimizare a utilizării sistem de gaze. În acest caz, se compară indicatorii calculați și efectivi, ca urmare, se verifică corectitudinea modelului compilat |
Precizie | Această cerință implică coincidența valorilor pe care le obținem la calcularea modelului matematic și a parametrilor de intrare ai obiectului nostru real. |
Economic | Cerința de rentabilitate pentru orice model matematic este caracterizată de costuri de implementare. Dacă se lucrează cu modelul manual, atunci este necesar să se calculeze cât timp va dura rezolvarea unei probleme folosind acest model matematic. Dacă vorbim de proiectare asistată de computer, atunci se calculează indicatorii de timp și costurile memoriei computerului |
Etape de modelare
În total, modelarea matematică este de obicei împărțită în patru etape.
- Formularea legilor care leagă părți ale modelului.
- Studiul problemelor matematice.
- Determinarea coincidentei rezultatelor practice si teoretice.
- Analiza si modernizarea modelului.
Model economic și matematic
În această secțiune vom evidenția pe scurt problema. Exemple de sarcini includ:
- formarea unui program de producție pentru producerea produselor din carne care să asigure profituri maxime de producție;
- maximizarea profitului organizaţiei prin calcularea cantităţii optime de mese şi scaune produse per fabrica de mobila, și așa mai departe.
Modelul economico-matematic prezintă abstractizarea economică, care este exprimată folosind termeni și simboluri matematice.
Model matematic pe calculator
Exemple de model matematic pe calculator sunt:
- probleme hidraulice folosind organigrame, diagrame, tabele etc.;
- probleme la mecanica solidă și așa mai departe.
Un model de calculator este o imagine a unui obiect sau sistem, prezentată sub forma:
- Mese;
- diagrame bloc;
- diagrame;
- grafică și așa mai departe.
în care acest model reflectă structura și relațiile sistemului.
Construirea unui model economic și matematic
Am vorbit deja despre ce este un model economico-matematic. Un exemplu de rezolvare a problemei va fi luat în considerare chiar acum. Trebuie să analizăm programul de producție pentru a identifica o rezervă pentru creșterea profiturilor cu o schimbare a sortimentului.
Nu vom lua în considerare pe deplin problema, ci vom construi doar un model economic și matematic. Criteriul sarcinii noastre este maximizarea profitului. Atunci funcția are forma: А=р1*х1+р2*х2..., tinzând la maxim. În acest model, p este profitul pe unitate și x este numărul de unități produse. În continuare, pe baza modelului construit, este necesar să faceți calcule și să rezumați.
Un exemplu de construire a unui model matematic simplu
Sarcină. Pescarul s-a întors cu următoarea captură:
- 8 pești - locuitori ai mărilor nordice;
- 20% din captură sunt locuitori din mările sudice;
- Nu a fost găsit niciun pește din râul local.
Câți pești a cumpărat de la magazin?
Deci, un exemplu de construire a unui model matematic al acestei probleme arată astfel. Notăm numărul total de pești cu x. După condiție, 0,2x este numărul de pești care trăiesc în latitudinile sudice. Acum combinăm toate informațiile disponibile și obținem un model matematic al problemei: x=0.2x+8. Rezolvăm ecuația și obținem răspunsul la întrebarea principală: A cumpărat 10 pești într-un magazin.
vector de variabile de intrare, X=t,Y - vectorul variabilelor de ieșire, Y=t,
Z este vectorul influențelor externe, Z=t,
t - coordonata de timp.
Constructie model matematic constă în determinarea legăturilor dintre anumite procese și fenomene, crearea unui aparat matematic care să permită exprimarea cantitativă și calitativă a legăturii dintre anumite procese și fenomene, dintre mărimile fizice de interes pentru un specialist și factorii care influențează rezultatul final.
De obicei, sunt atât de multe încât este imposibil să introduci întregul lor set în model. La construirea model matematicÎnainte de studiu, se pune sarcina de a identifica și exclude din considerare factorii care nu afectează în mod semnificativ rezultatul final ( model matematic include de obicei un număr semnificativ mai mic de factori decât în realitate). Pe baza datelor experimentale se propun ipoteze cu privire la relația dintre mărimile care exprimă rezultatul final și factorii introduși în model matematic. O astfel de conexiune este adesea exprimată prin sisteme diferențiale ecuații cu diferențe parțiale(de exemplu, în problemele de mecanică a solidelor, lichidelor și gazelor, teoria filtrării, conductivitatea termică, teoria câmpurilor electrostatice și electrodinamice).
Scopul final al acestei etape este formularea unei probleme matematice, a cărei rezolvare, cu acuratețea necesară, exprimă rezultatele de interes pentru specialist.
Forma și principiile de prezentare model matematic depinde de mulți factori.
Conform principiilor de construcţie modele matematice divizat in:
- analitic;
- imitaţie.
În modelele analitice, procesele de funcționare a obiectelor, proceselor sau sistemelor reale sunt scrise sub formă explicită. dependențe funcționale.
Modelul analitic este împărțit în tipuri în funcție de problema matematică:
- ecuații (algebrice, transcendentale, diferențiale, integrale),
- probleme de aproximare (interpolare, extrapolare, integrare numericăȘi diferenţiere),
- probleme de optimizare,
- probleme stocastice.
Cu toate acestea, pe măsură ce obiectul de modelare devine mai complex, construirea unui model analitic se transformă într-o problemă insolubilă. Apoi cercetătorul este forțat să folosească simulare.
ÎN modelare prin simulare funcționarea obiectelor, proceselor sau sistemelor este descrisă de un set de algoritmi. Algoritmii simulează fenomene elementare reale care alcătuiesc un proces sau un sistem, păstrându-le în același timp structura logicași succesiunea apariției în timp. Modelare prin simulare vă permite să obțineți informații despre datele sursă stări de proces sau sisteme în anumite momente în timp, dar prezicerea comportamentului obiectelor, proceselor sau sistemelor este dificilă aici. Se poate spune că modele de simulare- acestea sunt efectuate pe computer experimente de calcul Cu modele matematice, simulând comportamentul obiectelor, proceselor sau sistemelor reale.
În funcție de natura proceselor și sistemelor reale studiate modele matematice poate fi:
- determinat,
- stocastică.
În modelele deterministe, se presupune că nu există influențe aleatorii, elementele modelului (variabile, conexiuni matematice) sunt stabilite destul de precis, iar comportamentul sistemului poate fi determinat cu exactitate. Atunci când se construiesc modele deterministe, cel mai des sunt utilizate ecuații algebrice, ecuații integrale și algebra matriceală.
Modelul stocastic ia în considerare natura aleatorie a proceselor din obiectele și sistemele studiate, care este descrisă prin metode de teoria probabilităților și statistica matematică.
Pe baza tipului de informații de intrare, modelele sunt împărțite în:
- continuu,
- discret.
Dacă informațiile și parametrii sunt continui, iar conexiunile matematice sunt stabile, atunci modelul este continuu. Și invers, dacă informațiile și parametrii sunt discreti, iar conexiunile sunt instabile, atunci model matematic- discret.
Pe baza comportamentului modelelor în timp, acestea sunt împărțite în:
- static,
- dinamic.
Modelele statice descriu comportamentul unui obiect, proces sau sistem în orice moment. Modelele dinamice reflectă comportamentul unui obiect, proces sau sistem în timp.
După gradul de corespondenţă dintre