Teoria limitelor- una dintre secțiunile analizei matematice pe care unii o pot stăpâni, în timp ce alții au dificultăți în calcularea limitelor. Întrebarea găsirii limitelor este destul de generală, deoarece există zeci de tehnici limite de soluție tipuri variate. Aceleași limite pot fi găsite atât folosind regula lui L'Hopital, cât și fără ea. Se întâmplă ca programarea unei serii de funcții infinitezimale vă permite să obțineți rapid rezultatul dorit. Există un set de tehnici și trucuri care vă permit să găsiți limita unei funcții de orice complexitate. În acest articol vom încerca să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică. Nu vom da aici teoria și definiția limitei; există multe resurse pe Internet unde se discută acest lucru. Prin urmare, să trecem la calcule practice, aici este locul în care „Nu știu! Nu pot! Nu am fost învățați!”
Calcularea limitelor folosind metoda substituției
Exemplul 1. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rezolvare: Exemple de acest fel pot fi calculate teoretic folosind substituția obișnuită
Limita este 18/11.
Nu este nimic complicat sau înțelept în legătură cu astfel de limite - am înlocuit valoarea, am calculat-o și am notat limita ca răspuns. Cu toate acestea, pe baza unor astfel de limite, toată lumea este învățată că, în primul rând, trebuie să înlocuiască valoarea în funcție. În plus, limitele devin mai complicate, introducând conceptul de infinit, incertitudine și altele asemenea.
O limită cu incertitudine ca infinitul împărțit la infinit. Tehnici de dezvăluire a incertitudinii
Exemplul 2. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinit).
Rezolvare: este dată o limită a formei polinom împărțită la un polinom, iar variabila tinde spre infinit
Pur și simplu înlocuirea valorii la care ar trebui găsită variabila pentru a găsi limitele nu va ajuta, obținem o incertitudine de forma infinit împărțită la infinit.
Conform teoriei limitelor, algoritmul de calcul al limitei este de a găsi cea mai mare putere a lui „x” în numărător sau numitor. În continuare, numărătorul și numitorul sunt simplificați la acesta și se găsește limita funcției
Deoarece valoarea tinde spre zero atunci când variabila se apropie de infinit, acestea sunt neglijate sau sunt scrise în expresia finală sub formă de zerouri
Imediat din practică, puteți obține două concluzii care sunt un indiciu în calcule. Dacă o variabilă tinde spre infinit și gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, atunci limita este egală cu infinitul. În caz contrar, dacă polinomul din numitor este de ordin mai mare decât în numărător, limita este zero.
Limita poate fi scrisă în formule ca aceasta:
Dacă avem o funcție de forma unui câmp obișnuit fără fracții, atunci limita sa este egală cu infinitul
Următorul tip de limite se referă la comportamentul funcțiilor aproape de zero.
Exemplul 3. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Soluție: Nu este nevoie să eliminați aici factorul conducător al polinomului. Exact invers, trebuie să găsiți cea mai mică putere a numărătorului și numitorului și să calculați limita
Valoarea x^2; x tinde spre zero atunci când variabila tinde spre zero. Prin urmare, ele sunt neglijate, așa că obținem
că limita este 2,5.
Acum știi cum să găsiți limita unei funcții din formă, împărțiți un polinom la un polinom dacă variabila tinde spre infinit sau 0. Dar aceasta este doar o mică și ușoară parte a exemplelor. Din următorul material veți învăța cum să descoperiți incertitudinile în limitele unei funcții.
Limită cu incertitudine de tip 0/0 și metode de calcul a acesteia
Toată lumea își amintește imediat regula că nu poți împărți la zero. Totuși, teoria limitelor în acest context implică funcții infinitezimale.
Să ne uităm la câteva exemple pentru claritate.
Exemplul 4. Găsiți limita unei funcții
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rezolvare: Când înlocuim valoarea variabilei x = -1 în numitor, obținem zero și obținem același lucru la numărător. Deci avem incertitudinea formei 0/0.
Abordarea unei astfel de incertitudini este simplă: trebuie să factorizați polinomul sau, mai degrabă, să selectați factorul care transformă funcția în zero.
După extindere, limita funcției poate fi scrisă ca
Aceasta este întreaga metodă de calcul a limitei unei funcții. Facem același lucru dacă există o limită a formei polinom împărțit la un polinom.
Exemplul 5. Găsiți limita unei funcții
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Soluție: Substituirea directă arată
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ce avem incertitudine de tip 0/0.
Să împărțim polinoamele la factorul care introduce singularitatea
Există profesori care învață că polinoamele de ordinul 2, adică de tipul „ecuații pătratice”, trebuie rezolvate prin discriminant. Dar practica reală arată că acest lucru este mai lung și mai confuz, așa că scăpați de caracteristicile în limitele conform algoritmului specificat. Astfel scriem funcția sub forma factori primi si calculeaza la limita
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în calcularea unor astfel de limite. Până când studiezi limitele, știi să împarți polinoamele, cel puțin conform programului pe care ar fi trebuit să-l fi trecut deja.
Printre sarcinile pe incertitudine de tip 0/0 Există unele în care trebuie să utilizați formule de înmulțire abreviate. Dar dacă nu le cunoașteți, atunci împărțind un polinom la un monom puteți obține formula dorită.
Exemplul 6. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rezolvare: Avem o incertitudine de tip 0/0. La numărător folosim formula de înmulțire prescurtată
și calculați limita necesară
Metodă de dezvăluire a incertitudinii prin înmulțirea cu conjugatul său
Metoda se aplică la limitele în care incertitudinea este generată de funcțiile iraționale. Numătorul sau numitorul se transformă în zero în punctul de calcul și nu se știe cum să se găsească granița.
Exemplul 7. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Soluţie: Să reprezentăm variabila în formula limită
La substituire, obținem o incertitudine de tip 0/0.
Conform teoriei limitelor, modalitatea de a ocoli această caracteristică este de a multiplica expresia irațională cu conjugatul ei. Pentru a vă asigura că expresia nu se schimbă, numitorul trebuie împărțit la aceeași valoare
Folosind regula diferenței de pătrate, simplificăm numărătorul și calculăm limita funcției
Simplificam termenii care creeaza singularitatea in limita si efectuam substitutia
Exemplul 8. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rezolvare: Substituția directă arată că limita are o singularitate de forma 0/0.
Pentru a extinde, înmulțim și împărțim la conjugatul numărătorului
Notăm diferența de pătrate
Simplificam termenii care introduc singularitatea si gasim limita functiei
Exemplul 9. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Soluție: Înlocuiți doi în formulă
Primim incertitudine 0/0.
Numitorul trebuie înmulțit cu expresia conjugată, iar numărătorul trebuie rezolvat ecuație pătratică sau factorizați, ținând cont de singularitate. Deoarece se știe că 2 este o rădăcină, găsim a doua rădăcină folosind teorema lui Vieta
Astfel, scriem numeratorul sub forma
și înlocuiți-l în limită
Prin reducerea diferenței de pătrate, scăpăm de singularitățile din numărător și numitor
În acest fel, puteți scăpa de singularități în multe exemple, iar aplicația trebuie remarcată oriunde o anumită diferență de rădăcini se transformă în zero în timpul înlocuirii. Alte tipuri de limite se referă la funcții exponențiale, funcții infinitezimale, logaritmi, limite speciale și alte tehnici. Dar puteți citi despre acest lucru în articolele enumerate mai jos despre limite.
Număr constant A numit limită secvente(x n ), dacă pentru orice număr pozitiv arbitrar micε > 0 există un număr N care are toate valorile x n, pentru care n>N, satisface inegalitatea
|x n - a|< ε. (6.1)
Notează-l după cum urmează: sau x n → A.
Inegalitatea (6.1) este echivalentă cu inegalitatea dublă
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
ceea ce înseamnă că punctele x n, pornind de la un număr n>N, se află în interiorul intervalului (a-ε, a+ ε ), adică cad în orice micε -vecinatatea unui punct A.
Se numește o secvență care are o limită convergent, in caz contrar - divergente.
Conceptul de limită a funcției este o generalizare a conceptului de limită de secvență, deoarece limita unei secvențe poate fi considerată ca limita unei funcții x n = f(n) a unui argument întreg n.
Fie dată funcția f(x) și fie A - punct limită domeniul de definitie al acestei functii D(f), i.e. un astfel de punct, a cărui vecinătate conține puncte ale mulțimii D(f) altele decât A. Punct A poate aparține sau nu mulțimii D(f).
Definiția 1.Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a, dacă pentru orice succesiune (x n ) de valori ale argumentelor care tind la A, secvențele corespunzătoare (f(x n)) au aceeași limită A.
Această definiție se numește prin definirea limitei unei funcții după Heine, sau " în limbajul succesiv”.
Definiția 2. Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a, dacă, prin specificarea unui număr pozitiv arbitrar arbitrar mic ε, se poate găsi astfel de δ>0 (în funcție de ε), care este pentru toată lumea X, întins înăuntruε-vecinătăți ale numărului A, adică Pentru X, satisfacerea inegalitatii
0 <
x-a< ε
, se vor afla valorile funcției f(x).ε-vecinatatea numarului A, i.e.|f(x)-A|<
ε.
Această definiție se numește prin definirea limitei unei funcții după Cauchy, sau „în limbajul ε - δ “.
Definițiile 1 și 2 sunt echivalente. Dacă funcția f(x) ca x →a are limită, egal cu A, aceasta se scrie sub forma
. (6.3)
În cazul în care șirul (f(x n)) crește (sau scade) fără limită pentru orice metodă de aproximare X la limita ta A, atunci vom spune că funcția f(x) are limita infinita, si scrie-l sub forma:
Se numește o variabilă (adică o secvență sau o funcție) a cărei limită este zero infinit de mici.
Se numește o variabilă a cărei limită este egală cu infinitul infinit de mare.
Pentru a găsi limita în practică, se folosesc următoarele teoreme.
Teorema 1 . Dacă există orice limită
(6.4)
(6.5)
(6.6)
cometariu. Expresii ca 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sunt incerte, de exemplu, raportul a două cantități infinit de mici sau infinit de mari, iar găsirea unei limite de acest tip se numește „descoperirea incertitudinilor”.
Teorema 2. (6.7)
acestea. se poate ajunge la limita pe baza puterii cu un exponent constant, în special, ;
(6.8)
(6.9)
Teorema 3.
(6.10)
(6.11)
Unde e » 2.7 - baza logaritmului natural. Formulele (6.10) și (6.11) se numesc primele limita minunata iar a doua limită remarcabilă.
Consecințele formulei (6.11) sunt, de asemenea, utilizate în practică:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
în special limita,
Dacă x → a și în același timp x > a, apoi scrieți x→a + 0. Dacă, în special, a = 0, atunci în locul simbolului 0+0 scrieți +0. În mod similar, dacă x→a și în același timp x a-0. Numerele și sunt chemați în consecință limita dreaptaȘi limita stângă funcții f(x) la punct A. Pentru ca să existe o limită a funcției f(x) ca x→a este necesar şi suficient pentru ca . Se numește funcția f(x). continuu la punct x 0 dacă limită
. (6.15)
Condiția (6.15) poate fi rescrisă ca:
,
adică trecerea la limita sub semnul unei funcţii este posibilă dacă aceasta este continuă într-un punct dat.
Dacă egalitatea (6.15) este încălcată, atunci spunem că la x = xo funcţie f(x) Are decalaj Se consideră funcția y = 1/x. Domeniul de definire al acestei funcții este mulțimea R, cu excepția x = 0. Punctul x = 0 este un punct limită al mulțimii D(f), deoarece în orice vecinătate a acesteia, i.e. în orice interval deschis care conține punctul 0, există puncte din D(f), dar el însuși nu aparține acestei mulțimi. Valoarea f(x o)= f(0) nu este definită, deci în punctul x o = 0 funcția are o discontinuitate.
Se numește funcția f(x). continuă pe dreapta la punct x o dacă limita
,
Și continuu pe stanga la punct x o, dacă limita
.
Continuitatea unei funcții într-un punct x o este echivalentă cu continuitatea sa în acest punct atât la dreapta cât și la stânga.
Pentru ca funcția să fie continuă la punct x o, de exemplu, în dreapta, este necesar, în primul rând, să existe o limită finită, iar în al doilea rând, ca această limită să fie egală cu f(x o). Prin urmare, dacă cel puțin una dintre aceste două condiții nu este îndeplinită, atunci funcția va avea o discontinuitate.
1. Dacă limita există și nu este egală cu f(x o), atunci ei spun că funcţie f(x) la punct x o are ruptura de primul fel, sau salt.
2. Dacă limita este+∞ sau -∞ sau nu există, atunci ei spun că în punct xo funcţia are o discontinuitate al doilea fel.
De exemplu, funcția y = cot x la x→ +0 are o limită egală cu +∞, ceea ce înseamnă că în punctul x=0 are o discontinuitate de al doilea fel. Funcția y = E(x) (parte întreagă a X) în puncte cu abscise întregi are discontinuități de primul fel, sau salturi.
Se numește o funcție care este continuă în fiecare punct al intervalului continuu V . O funcție continuă este reprezentată printr-o curbă solidă.
Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă. Astfel de sarcini, de exemplu, includ: creșterea zăcămintelor conform legii interesului compus, creșterea populației țării, degradarea substanțelor radioactive, proliferarea bacteriilor etc.
Sa luam in considerare exemplu de Ya. I. Perelman, oferind o interpretare a numărului eîn problema dobânzii compuse. Număr e există o limită . În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă aderarea are loc mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece participă la formarea interesului suma mare. Să luăm un exemplu pur teoretic, foarte simplificat. Să fie depuși 100 de denari în bancă. unitati bazat pe 100% pe an. Dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până în această perioadă 100 den. unitati se va transforma in 200 de unitati monetare. Acum să vedem în ce se vor transforma 100 denize. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. După șase luni, 100 den. unitati va crește la 100× 1,5 = 150, iar după alte șase luni - la 150× 1,5 = 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati se va transforma in 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. unităţi). Vom mări termenii pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, la 0,01 an, la 0,001 an etc. Apoi din 100 den. unitati dupa un an va fi:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).
Cu o reducere nelimitată a termenelor de adunare a dobânzii, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul depus la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată. au fost adăugate la capital în fiecare secundă deoarece limita
Exemplul 3.1.Folosind definiția limitei unei secvențe de numere, demonstrați că șirul x n =(n-1)/n are o limită egală cu 1.
Soluţie.Trebuie să dovedim asta, orice ar fiε > 0 indiferent ce luăm, există ceva pentru el numar natural N, astfel încât pentru toți n N inegalitatea este valabilă|x n -1|< ε.
Să luăm orice e > 0. Deoarece ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, atunci pentru a găsi N este suficient să rezolvi inegalitatea 1/n< e. Prin urmare n>1/ e și, prin urmare, N poate fi luat ca o parte întreagă a lui 1/ e, N = E(1/ e ). Am demonstrat astfel că limita .
Exemplul 3.2 . Aflați limita unei șiruri date de un termen comun .
Soluţie.Să aplicăm limita teoremei sumei și să găsim limita fiecărui termen. Când n→ ∞ numărătorul și numitorul fiecărui termen tind spre infinit și nu putem aplica direct teorema limitei coeficientului. Prin urmare, mai întâi ne transformăm x n, împărțind numărătorul și numitorul primului termen la n 2, iar al doilea pe n. Apoi, aplicând limita coeficientului și limita teoremei sumei, găsim:
.
Exemplul 3.3. . Găsi .
Soluţie. .
Aici am folosit teorema limitei gradului: limita unui grad este egală cu gradul limitei bazei.
Exemplul 3.4 . Găsi ( ).
Soluţie.Este imposibil de aplicat teorema limitei diferenței, deoarece avem o incertitudine a formei ∞-∞ . Să transformăm formula generală a termenului:
.
Exemplul 3.5 . Este dată funcția f(x)=2 1/x. Demonstrează că nu există limită.
Soluţie.Să folosim definiția 1 a limitei unei funcții printr-o secvență. Să luăm o secvență ( x n ) convergentă la 0, adică. Să arătăm că valoarea f(x n)= se comportă diferit pentru secvențe diferite. Fie x n = 1/n. Evident, atunci limita Să alegem acum ca x n o secvență cu un termen comun x n = -1/n, de asemenea, tinde spre zero. Prin urmare, nu există limită.
Exemplul 3.6 . Demonstrează că nu există limită.
Soluţie.Fie x 1 , x 2 ,..., x n ,... o succesiune pentru care
. Cum se comportă șirul (f(x n)) = (sin x n) pentru diferite x n → ∞
Dacă x n = p n, atunci sin x n = sin p n = 0 pentru toate n iar limita Dacă
x n =2 p n+ p /2, atunci sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 pentru toate n si deci limita. Deci nu există.
Widget pentru calcularea limitelor on-line
În fereastra de sus, în loc de sin(x)/x, introduceți funcția a cărei limită doriți să găsiți. În fereastra de jos, introduceți numărul la care tinde x și faceți clic pe butonul Calculator, obțineți limita dorită. Și dacă în fereastra de rezultate dați clic pe Afișare pași în colțul din dreapta sus, veți obține o soluție detaliată.
Reguli pentru introducerea funcțiilor: sqrt(x)- Rădăcină pătrată, cbrt(x) - rădăcină cubă, exp(x) - exponent, ln(x) - logaritm natural, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan(x) - tangentă, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arccosinus, arctan(x) - arctangent. Semne: * înmulțire, / împărțire, ^ exponențiere, în schimb infinit Infinit. Exemplu: funcția este introdusă ca sqrt(tan(x/2)).
Există așa ceva în matematică ca limita unei funcții. Pentru a înțelege cum să găsiți limite, trebuie să vă amintiți definiția limitei unei funcții: o funcție f (x) are o limită L într-un punct x = a dacă pentru fiecare succesiune de valori a lui x care converge către punctul a, succesiunea valorilor lui y se apropie de:
- L lim f(x) = L
Conceptul și proprietățile limitelor
Ce este o limită poate fi înțeles dintr-un exemplu. Să presupunem că avem funcția y=1/x. Dacă creștem constant valoarea lui x și ne uităm la ce este egal cu y, vom obține valori din ce în ce mai descrescătoare: la x=10000 y=1/10000; la x=1000000 y=1/1000000. Acestea. cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y. Dacă x=∞, y va fi atât de mic încât poate fi considerat egal cu 0. Astfel, limita funcției y=1/x pe măsură ce x tinde spre ∞ este egală cu 0. Se scrie astfel:
- lim1/х=0
Limita unei funcții are câteva proprietăți pe care trebuie să le rețineți: acest lucru va facilita foarte mult rezolvarea problemelor privind găsirea limitelor:
- Limită de sumă egal cu suma limite: lim(x+y)=lim x+lim y
- Limita produsului este egală cu produsul limitelor: lim(xy)=lim x*lim y
- Limita câtului este egală cu câtul limitelor: lim(x/y)=lim x/lim y
- Factorul constant este scos din semnul limită: lim(Cx)=C lim x
Funcția y=1/x, în care x →∞, are o limită egală cu zero; pentru x→0, limita este egală cu ∞.
- lim (sin x)/x=1 x→0
Atunci când se calculează limitele, ar trebui să se țină cont următoarele reguli de bază:
1. Limita sumei (diferenței) funcțiilor este egală cu suma (diferenței) limitelor termenilor:
2. Limita unui produs de funcții este egală cu produsul limitelor factorilor:
3. Limita raportului a două funcții egal cu raportul limitele acestor funcții:
.
4. Factorul constant poate fi luat dincolo de semnul limită:
.
5. Limita unei constante este egală cu constanta însăși:
6. Pentru funcțiile continue, simbolurile de limită și de funcție pot fi schimbate:
.
Găsirea limitei unei funcții ar trebui să înceapă prin înlocuirea valorii în expresia funcției. Mai mult, dacă se obține valoarea numerică 0 sau ¥, atunci s-a găsit limita dorită.
Exemplul 2.1. Calculați limita.
Soluţie.
.
Sunt numite expresii de forma , , , , incertitudini.
Dacă obțineți o incertitudine a formei , atunci pentru a găsi limita trebuie să transformați funcția astfel încât să relevați această incertitudine.
Incertitudinea formei se obține de obicei atunci când este dată limita raportului a două polinoame. În acest caz, pentru a calcula limita, se recomandă factorizarea polinoamelor și reducerea acestora cu un factor comun. Acest multiplicator este zero la valoarea limită X .
Exemplul 2.2. Calculați limita.
Soluţie.
Înlocuind , obținem incertitudinea:
.
Să factorizăm numărătorul și numitorul:
;
Să reducem printr-un factor comun și să obținem
O incertitudine a formei se obține atunci când limita raportului a două polinoame este dată la . În acest caz, pentru a-l calcula, se recomandă împărțirea ambelor polinoame la X în gradul superior.
Exemplul 2.3. Calculați limita.
Soluţie. Când înlocuim ∞, obținem o incertitudine de forma , deci împărțim toți termenii expresiei la x 3.
.
Se are în vedere aici că .
Când se calculează limitele unei funcții care conține rădăcini, se recomandă înmulțirea și împărțirea funcției la conjugatul său.
Exemplul 2.4. Calculați limita
Soluţie.
Când se calculează limite pentru a dezvălui incertitudinea formei sau (1) ∞, prima și a doua limită remarcabilă sunt adesea folosite:
Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă.
Să luăm în considerare exemplul lui Ya. I. Perelman, dând o interpretare a numărului eîn problema dobânzii compuse. În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă aderarea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o sumă mai mare este implicată în formarea dobânzii. Să luăm un exemplu pur teoretic, foarte simplificat.
Să fie depuși 100 de denari în bancă. unitati bazat pe 100% pe an. Dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până în această perioadă 100 den. unitati se va transforma in 200 de unitati monetare.
Acum să vedem în ce se vor transforma 100 denize. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. După șase luni, 100 den. unitati va crește cu 100 × 1,5 = 150, iar după alte șase luni - cu 150 × 1,5 = 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati se va transforma în 100 × (1 +1/3) 3 "237 (unități den.).
Vom mări termenii pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, la 0,01 an, la 0,001 an etc. Apoi din 100 den. unitati dupa un an va fi:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).
Cu o reducere nelimitată a termenelor de adăugare a dobânzii, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul depus la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată. au fost adăugate capitalei la fiecare secundă pentru că
Exemplul 2.5. Calculați limita unei funcții
Soluţie.
Exemplul 2.6. Calculați limita unei funcții .
Soluţie.Înlocuind obținem incertitudinea:
.
Folosind formula trigonometrică, transformați numărătorul într-un produs:
Ca rezultat obținem
Aici se ia în considerare a doua limită remarcabilă.
Exemplul 2.7. Calculați limita unei funcții
Soluţie.
.
Pentru a dezvălui incertitudinea formei sau, puteți folosi regula lui L'Hopital, care se bazează pe următoarea teoremă.
Teorema. Limita raportului a două funcții infinitezimale sau infinit de mari este egală cu limita raportului derivatelor lor
Rețineți că această regulă poate fi aplicată de mai multe ori la rând.
Exemplul 2.8. Găsi
Soluţie. Când înlocuim, avem o incertitudine a formei. Aplicând regula lui L'Hopital, obținem
Continuitatea funcției
O proprietate importantă a unei funcții este continuitatea.
Definiție. Se ia în considerare funcția continuu, dacă o mică modificare a valorii argumentului implică o mică modificare a valorii funcției.
Matematic aceasta se scrie astfel: când
Prin și se înțelege incrementul de variabile, adică diferența dintre valorile ulterioare și cele precedente: , (Figura 2.3)
Figura 2.3 – Creșterea variabilelor |
Din definiţia unei funcţii continue în punctul rezultă că . Această egalitate înseamnă că sunt îndeplinite trei condiții:
Soluţie. Pentru funcție punctul este suspect pentru o discontinuitate, să verificăm asta și să găsim limite unilaterale
Prin urmare, , Mijloace - punct de rupere
Derivată a unei funcții
Concepte de limite ale secvențelor și funcțiilor. Când este necesar să se găsească limita unei secvențe, se scrie astfel: lim xn=a. Într-o astfel de succesiune de secvențe, xn tinde spre a și n tinde spre infinit. Secvența este de obicei reprezentată ca o serie, de exemplu:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Secvențele sunt împărțite în crescătoare și descrescătoare. De exemplu:
xn=n^2 - succesiune crescătoare
yn=1/n - succesiune
Deci, de exemplu, limita șirului xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0
x→∞
Această limită este egală cu zero, deoarece n→∞, iar succesiunea 1/n^2 tinde spre zero.
De obicei, o cantitate variabilă x tinde spre o limită finită a, iar x se apropie constant de a, iar mărimea a este constantă. Aceasta este scrisă după cum urmează: limx =a, în timp ce n poate tinde, de asemenea, fie spre zero, fie spre infinit. Există infinite funcții, pentru care limita tinde spre infinit. În alte cazuri, când, de exemplu, funcția încetinește un tren, este posibil ca limita să tinde spre zero.
Limitele au o serie de proprietăți. De obicei, orice funcție are o singură limită. Aceasta este proprietatea principală a limitei. Altele sunt enumerate mai jos:
* Limita sumei este egală cu suma limitelor:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Limita produsului este egală cu produsul limitelor:
lim(xy)=lim x*lim y
* Limita coeficientului este egală cu câtul limitelor:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Factorul constant este luat în afara semnului limită:
lim(Cx)=C lim x
Având în vedere o funcție 1 /x în care x →∞, limita sa este zero. Dacă x→0, limita unei astfel de funcții este ∞.
Pentru funcțiile trigonometrice există câteva dintre aceste reguli. Deoarece funcția sin x tinde întotdeauna spre unitate atunci când se apropie de zero, identitatea este valabilă pentru ea:
lim sin x/x=1
Într-o serie de funcții există funcții, atunci când se calculează limitele cărora apare incertitudinea - o situație în care limita nu poate fi calculată. Singura cale de ieșire din această situație este L'Hopital. Există două tipuri de incertitudini:
* incertitudinea formei 0/0
* incertitudinea formei ∞/∞
De exemplu, este dată o limită de următoarea formă: lim f(x)/l(x) și f(x0)=l(x0)=0. În acest caz, apare o incertitudine de forma 0/0. Pentru a rezolva o astfel de problemă se diferențiază ambele funcții, după care se găsește limita rezultatului. Pentru incertitudinile de tip 0/0, limita este:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (la x→0)
Aceeași regulă este valabilă și pentru incertitudinile de tip ∞/∞. Dar în acest caz următoarea egalitate este adevărată: f(x)=l(x)=∞
Folosind regula lui L'Hopital, puteți găsi valorile oricăror limite în care apar incertitudini. O condiție prealabilă pentru
volum - fără erori la găsirea derivatelor. Deci, de exemplu, derivata funcției (x^2)" este egală cu 2x. De aici putem concluziona că:
f"(x)=nx^(n-1)