Se prezintă demonstrația și derivarea formulei pentru derivata cosinusului - cos(x). Exemple de calculare a derivatelor de cos 2x, cos 3x, cos nx, cosinus pătrat, cub și la puterea n. Formula pentru derivata cosinusului de ordinul al n-lea.
ConţinutVezi si: Sinus și cosinus - proprietăți, grafice, formule
Derivata față de variabila x din cosinusul lui x este egală cu minus sinusul lui x:
(cos x)′ = - sin x.
Dovada
Pentru a deriva formula pentru derivata cosinusului, folosim definiția derivatei:
.
Să transformăm această expresie pentru a o reduce la legile și regulile matematice cunoscute. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem patru proprietăți.
1)
Formule trigonometrice. Vom avea nevoie de următoarea formulă:
(1)
;
2)
Proprietatea de continuitate a funcției sinus:
(2)
;
3)
Semnificația primei limite remarcabile:
(3)
;
4)
Proprietatea limitei produsului a două funcții:
Dacă și , atunci
(4)
.
Să aplicăm aceste legi până la limita noastră. Mai întâi transformăm expresia algebrică
.
Pentru a face acest lucru, aplicăm formula
(1)
;
În cazul nostru
; . Apoi
;
;
;
.
Să facem o înlocuire. La , . Folosim proprietatea continuității (2):
.
Să facem aceeași înlocuire și să aplicăm prima limită remarcabilă (3):
.
Deoarece limitele calculate mai sus există, aplicăm proprietatea (4):
.
Astfel, am obținut formula pentru derivata cosinusului.
Exemple
Să ne uităm la exemple simple de găsire a derivatelor de funcții care conțin un cosinus. Să găsim derivate ale următoarelor funcții:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x; y = cos 3 xși y = cos n x.
Exemplul 1
Găsiți derivate ale cos 2x, cos 3xȘi cosnx.
Funcțiile originale au o formă similară. Prin urmare vom găsi derivata funcției y = cosnx. Apoi, ca derivat al cosnx, înlocuiți n = 2 și n = 3 . Și, astfel, obținem formule pentru derivatele lui ca 2xȘi cos 3x .
Deci, găsim derivata funcției
y = cosnx
.
Să ne imaginăm această funcție a variabilei x ca o funcție complexă constând din două funcții:
1)
2)
Atunci funcția originală este o funcție complexă (compozită) compusă din funcții și:
.
Să găsim derivata funcției față de variabila x:
.
Să găsim derivata funcției în raport cu variabila:
.
Aplicam.
.
Să înlocuim:
(P1) .
Acum, în formula (A1) înlocuim și:
;
.
;
;
.
Exemplul 2
Aflați derivatele cosinus pătrat, cosinus cub și cosinus la puterea n:
y = cos 2 x; y = cos 3 x; y = cos n x.
În acest exemplu, funcțiile au, de asemenea, un aspect similar. Prin urmare, vom găsi derivata funcției celei mai generale - cosinus la puterea n:
y = cos n x.
Apoi înlocuim n = 2 și n = 3. Și, astfel, obținem formule pentru derivatele cosinus pătrat și cosinus cub.
Deci trebuie să găsim derivata funcției
.
Să-l rescriem într-o formă mai înțeleasă:
.
Să ne imaginăm această funcție ca o funcție complexă constând din două funcții:
1)
Funcții în funcție de o variabilă: ;
2)
Funcţii în funcţie de o variabilă: .
Atunci funcția originală este o funcție complexă compusă din două funcții și:
.
Aflați derivata funcției față de variabila x:
.
Aflați derivata funcției în raport cu variabila:
.
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe.
.
Să înlocuim:
(P2) .
Acum să înlocuim și:
;
.
;
;
.
Derivate de ordin superior
Rețineți că derivata lui cos x ordinul întâi poate fi exprimat prin cosinus după cum urmează:
.
Să găsim derivata de ordinul doi folosind formula pentru derivata unei funcții complexe:
.
Aici .
Rețineți că diferențierea cos x face ca argumentul său să crească cu . Atunci derivata de ordinul n-a are forma:
(5)
.
Această formulă poate fi dovedită mai strict folosind metoda inducției matematice. Dovada pentru derivata a n-a a sinusului este prezentată pe pagina „Derivată a sinusului”. Pentru derivata a n-a a cosinusului, demonstrația este exact aceeași. Trebuie doar să înlocuiți sin cu cos în toate formulele.
Vezi si: Calcul derivat- una dintre cele mai importante operatii din calculul diferential. Mai jos este un tabel pentru găsirea derivatelor funcțiilor simple. Pentru reguli de diferențiere mai complexe, consultați alte lecții:- Tabel de derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice
Derivate ale funcțiilor simple
1. Derivata unui număr este zeroс´ = 0
Exemplu:
5' = 0
Explicaţie:
Derivata arată rata la care valoarea unei funcții se schimbă atunci când argumentul acesteia se schimbă. Deoarece numărul nu se modifică în niciun fel în nicio condiție, rata modificării sale este întotdeauna zero.
2. Derivată a unei variabile egal cu unu
x´ = 1
Explicaţie:
Cu fiecare creștere a argumentului (x) cu unu, valoarea funcției (rezultatul calculului) crește cu aceeași valoare. Astfel, rata de modificare a valorii funcției y = x este exact egală cu rata de modificare a valorii argumentului.
3. Derivata unei variabile si a unui factor este egala cu acest factor
сx´ = с
Exemplu:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explicaţie:
În acest caz, de fiecare dată când argumentul funcției se schimbă ( X) valoarea lui (y) crește în Cu o singura data. Astfel, rata de modificare a valorii funcției în raport cu rata de modificare a argumentului este exact egală cu valoarea Cu.
De unde rezultă că
(cx + b)" = c
adică diferența funcției liniare y=kx+b este egală cu panta dreptei (k).
4. Modul derivată a unei variabile egal cu coeficientul acestei variabile la modulul ei
|x|"= x / |x| cu condiția ca x ≠ 0
Explicaţie:
Deoarece derivata unei variabile (vezi formula 2) este egală cu unu, derivata modulului diferă doar prin aceea că valoarea ratei de modificare a funcției se schimbă în sens opus la trecerea punctului de origine (încercați să desenați un grafic a funcției y = |x| și vedeți singur. Aceasta este exact ce valoare și returnează expresia x / |x|. Când x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - unu. Adică, pentru valorile negative ale variabilei x, cu fiecare creștere a argumentului, valoarea funcției scade cu exact aceeași valoare, iar pentru valorile pozitive, dimpotrivă, crește, dar exact cu aceeași valoare. .
5. Derivată a unei variabile la o putere egal cu produsul unui număr din această putere și o variabilă cu puterea redusă cu unu
(x c)"= cx c-1, cu condiția ca x c și cx c-1 să fie definite și c ≠ 0
Exemplu:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Pentru a reține formula:
Mutați în jos gradul variabilei ca factor, apoi reduceți gradul în sine cu unul. De exemplu, pentru x 2 - cei doi au fost înaintea lui x, iar apoi puterea redusă (2-1 = 1) ne-a dat pur și simplu 2x. Același lucru s-a întâmplat și pentru x 3 - „deplasăm în jos” triplul, îl reducem cu unul și în loc de cub avem un pătrat, adică 3x 2. Puțin „neștiințific”, dar foarte ușor de reținut.
6.Derivată a unei fracții 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exemplu:
Deoarece o fracție poate fi reprezentată ca ridicând la o putere negativă
(1/x)" = (x -1)", atunci puteți aplica formula de la regula 5 din tabelul derivatelor
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Derivată a unei fracții cu o variabilă de grad arbitrarîn numitor
(1 / x c)" = - c/x c+1
Exemplu:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Derivat al rădăcinii(derivată a variabilei sub rădăcină pătrată)
(√x)" = 1 / (2√x) sau 1/2 x -1/2
Exemplu:
(√x)" = (x 1/2)" înseamnă că puteți aplica formula de la regula 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Derivată a unei variabile sub rădăcina unui grad arbitrar
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
Calculul derivatului se găsește adesea în sarcinile de examinare unificată de stat. Această pagină conține o listă de formule pentru găsirea derivatelor.
Reguli de diferențiere
- (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
- (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
- Derivată a unei funcții complexe. Dacă y=F(u) și u=u(x), atunci funcția y=f(x)=F(u(x)) se numește o funcție complexă a lui x. Egal cu y′(x)=Fu′⋅ ux′.
- Derivată a unei funcții implicite. Funcția y=f(x) se numește funcție implicită definită de relația F(x,y)=0 dacă F(x,f(x))≡0.
- Derivată a funcției inverse. Dacă g(f(x))=x, atunci funcția g(x) se numește funcția inversă a funcției y=f(x).
- Derivată a unei funcții definite parametric. Fie x și y specificate ca funcții ale variabilei t: x=x(t), y=y(t). Ei spun că y=y(x) este o funcție definită parametric pe intervalul x∈ (a;b), dacă pe acest interval ecuația x=x(t) poate fi exprimată ca t=t(x) și funcția y=y(t(x))=y(x).
- Derivată a unei funcții putere-exponențială. Găsit luând logaritmi la baza logaritmului natural.
Se prezintă o demonstrație și o derivare a formulei pentru derivata sinusului - sin(x). Exemple de calculare a derivatelor sin 2x, sinus pătrat și cub. Derivarea formulei pentru derivata sinusului de ordinul al n-lea.
ConţinutVezi si: Sinus și cosinus - proprietăți, grafice, formule
Derivata față de variabila x din sinusul lui x este egală cu cosinusul lui x:
(sin x)′ = cos x.
Dovada
Pentru a deriva formula pentru derivata sinusului, vom folosi definiția derivatei:
.
Pentru a găsi această limită, trebuie să transformăm expresia în așa fel încât să o reducem la legi, proprietăți și reguli cunoscute. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem patru proprietăți.
1)
Sensul primei limite remarcabile este:
(1)
;
2)
Continuitatea funcției cosinus:
(2)
;
3)
Formule trigonometrice. Vom avea nevoie de următoarea formulă:
(3)
;
4)
Proprietățile aritmetice ale limitei unei funcții:
Dacă și , atunci
(4)
.
Să aplicăm aceste reguli până la limita noastră. Mai întâi transformăm expresia algebrică
.
Pentru a face acest lucru, aplicăm formula
(3)
.
În cazul nostru
; . Apoi
;
;
;
.
Acum să facem înlocuirea. La , . Să aplicăm prima limită remarcabilă (1):
.
Să facem aceeași înlocuire și să folosim proprietatea continuității (2):
.
Deoarece limitele calculate mai sus există, aplicăm proprietatea (4):
.
Formula pentru derivata sinusului a fost dovedită.
Exemple
Să ne uităm la exemple simple de găsire a derivatelor de funcții care conțin sinus. Vom găsi derivate ale următoarelor funcții:
y = sin 2x; y = păcat 2 xși y = păcat 3 x.
Exemplul 1
Găsiți derivata lui păcat de 2x.
Mai întâi, să găsim derivata celei mai simple părți:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Aplicam.
.
Aici .
(sin 2x)′ = 2 cos 2x.
Exemplul 2
Aflați derivata sinusului pătrat:
y = păcat 2 x.
Să rescriem funcția originală într-o formă mai înțeleasă:
.
Să găsim derivata celei mai simple părți:
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe.
.
Aici .
Puteți aplica una dintre formulele de trigonometrie. Apoi
.
Exemplul 3
Găsiți derivata sinusului cub:
y = păcat 3 x.
Derivate de ordin superior
Rețineți că derivata lui sin x primul ordin poate fi exprimat prin sinus după cum urmează:
.
Să găsim derivata de ordinul doi folosind formula pentru derivata unei funcții complexe:
.
Aici .
Acum putem observa acea diferențiere sin x face ca argumentul său să crească cu . Atunci derivata de ordinul n-a are forma:
(5)
.
Să demonstrăm acest lucru folosind metoda inducției matematice.
Am verificat deja că pentru , formula (5) este valabilă.
Să presupunem că formula (5) este valabilă pentru o anumită valoare. Să demonstrăm că de aici rezultă că formula (5) este satisfăcută pentru .
Să scriem formula (5) la:
.
Diferențiam această ecuație folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe:
.
Aici .
Așa că am găsit:
.
Dacă înlocuim , atunci această formulă va lua forma (5).
Formula este dovedită.
Vezi si:Data: 20.11.2014
Ce este un derivat?
Tabelul derivatelor.
Derivata este unul dintre conceptele principale ale matematicii superioare. În această lecție vom introduce acest concept. Să ne cunoaștem, fără formulări și dovezi matematice stricte.
Această cunoștință vă va permite să:
Înțelegeți esența sarcinilor simple cu derivate;
Rezolvați cu succes aceste sarcini simple;
Pregătiți-vă pentru lecții mai serioase despre derivate.
În primul rând - o surpriză plăcută.)
Definiția strictă a derivatei se bazează pe teoria limitelor și treaba este destul de complicată. Acest lucru este supărător. Dar aplicarea practică a derivatelor, de regulă, nu necesită cunoștințe atât de extinse și profunde!
Pentru a finaliza cu succes majoritatea sarcinilor de la școală și universitate, este suficient să știi doar câțiva termeni- să înțeleagă sarcina și doar câteva reguli- pentru a o rezolva. Asta e tot. Asta ma face fericit.
Să începem să ne cunoaștem?)
Termeni și denumiri.
Există multe operații matematice diferite în matematica elementară. Adunare, scădere, înmulțire, exponențiere, logaritm etc. Dacă mai adăugați o operație la aceste operații, matematica elementară devine mai mare. Această nouă operațiune se numește diferenţiere. Definiția și semnificația acestei operațiuni vor fi discutate în lecții separate.
Este important să înțelegem aici că diferențierea este pur și simplu o operație matematică asupra unei funcții. Luăm orice funcție și, după anumite reguli, o transformăm. Rezultatul va fi o nouă funcție. Această nouă funcție se numește: derivat.
Diferenţiere- acţiune asupra unei funcţii.
Derivat- rezultatul acestei acțiuni.
La fel ca, de exemplu, sumă- rezultatul adunării. Sau privat- rezultatul diviziunii.
Cunoscând termenii, puteți înțelege cel puțin sarcinile.) Formulările sunt următoarele: găsiți derivata unei funcții; ia derivata; diferențierea funcției; calcula derivatași așa mai departe. Asta este tot la fel. Desigur, există și sarcini mai complexe, în care găsirea derivatei (diferențierea) va fi doar unul dintre pașii în rezolvarea problemei.
Derivata este indicată printr-o liniuță în partea dreaptă sus a funcției. Ca aceasta: y" sau f"(x) sau Sf)și așa mai departe.
Citind igrek stroke, ef stroke din x, es stroke din te, pai ai inteles...)
Un prim poate indica, de asemenea, derivata unei anumite funcții, de exemplu: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" etc. Adesea, derivatele sunt notate folosind diferențiale, dar nu vom lua în considerare o astfel de notație în această lecție.
Să presupunem că am învățat să înțelegem sarcinile. Tot ce rămâne este să înveți cum să le rezolvi.) Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată: găsirea derivatei este transformarea unei funcţii după anumite reguli.În mod surprinzător, există foarte puține dintre aceste reguli.
Pentru a găsi derivata unei funcții, trebuie să știți doar trei lucruri. Trei piloni pe care stă toată diferențierea. Iată acești trei piloni:
1. Tabel de derivate (formule de diferențiere).
3. Derivata unei functii complexe.
Să începem în ordine. În această lecție ne vom uita la tabelul derivatelor.
Tabelul derivatelor.
Există un număr infinit de funcții în lume. Printre acest set există funcții care sunt cele mai importante pentru utilizare practică. Aceste funcții se găsesc în toate legile naturii. Din aceste funcții, ca din cărămizi, puteți construi toate celelalte. Această clasă de funcții este numită functii elementare. Aceste funcții sunt studiate la școală - liniară, pătratică, hiperbolă etc.
Diferențierea funcțiilor „de la zero”, adică. Pe baza definiției derivatei și a teoriei limitelor, acesta este un lucru destul de intensiv în muncă. Și matematicienii sunt oameni, da, da!) Așa că și-au simplificat viața lor (și nouă). Ei au calculat derivatele funcțiilor elementare înaintea noastră. Rezultatul este un tabel de derivate, unde totul este gata.)
Iată, această farfurie pentru cele mai populare funcții. În stânga este o funcție elementară, în dreapta este derivata ei.
Funcţie y |
Derivată a funcției y y" |
|
1 | C (valoare constantă) | C" = 0 |
2 | X | x" = 1 |
3 | x n (n - orice număr) | (x n)" = nx n-1 |
x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
![]() |
||
![]() |
![]() |
|
4 | sin x | (sin x)" = cosx |
cos x | (cos x)" = - sin x | |
tg x | ![]() |
|
ctg x | ![]() |
|
5 | arcsin x | ![]() |
arccos x | ![]() |
|
arctan x | ![]() |
|
arcctg x | ![]() |
|
4 | A X | ![]() |
e X | ||
5 | Buturuga A X | ![]() |
ln x ( a = e) |
Vă recomand să acordați atenție celui de-al treilea grup de funcții din acest tabel de derivate. Derivata unei funcții de putere este una dintre cele mai comune formule, dacă nu cea mai comună! Înțelegi indiciu?) Da, este indicat să cunoști pe de rost tabelul derivatelor. Apropo, acest lucru nu este atât de dificil pe cât ar părea. Încercați să rezolvați mai multe exemple, tabelul în sine va fi amintit!)
Găsirea valorii de tabel a derivatului, după cum înțelegeți, nu este cea mai dificilă sarcină. Prin urmare, foarte des în astfel de sarcini există cipuri suplimentare. Fie în formularea sarcinii, fie în funcția originală, care nu pare să fie în tabel...
Să ne uităm la câteva exemple:
1. Aflați derivata funcției y = x 3
Nu există o astfel de funcție în tabel. Dar există o derivată a unei funcții de putere în formă generală (al treilea grup). În cazul nostru n=3. Deci înlocuim trei în loc de n și notăm cu atenție rezultatul:
(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
Asta este.
Răspuns: y" = 3x 2
2. Aflați valoarea derivatei funcției y = sinx în punctul x = 0.
Această sarcină înseamnă că trebuie mai întâi să găsiți derivata sinusului și apoi să înlocuiți valoarea x = 0în același derivat. Exact în ordinea aceea! Altfel, se întâmplă să înlocuiască imediat zero în funcția originală... Ni se cere să găsim nu valoarea funcției originale, ci valoarea derivatul său. Derivatul, permiteți-mi să vă reamintesc, este o funcție nouă.
Folosind tableta găsim sinusul și derivata corespunzătoare:
y" = (sin x)" = cosx
Inlocuim zero in derivata:
y"(0) = cos 0 = 1
Acesta va fi răspunsul.
3. Diferențiați funcția:
Ce, inspiră?) Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor.
Permiteți-mi să vă reamintesc că a diferenția o funcție înseamnă pur și simplu a găsi derivata acestei funcții. Dacă uitați de trigonometria elementară, căutarea derivatei funcției noastre este destul de supărătoare. Masa nu ajuta...
Dar dacă vedem că funcția noastră este cosinus cu unghi dublu, atunci totul devine mai bine imediat!
Da Da! Amintiți-vă că transformarea funcției inițiale înainte de diferențiere destul de acceptabil! Și se întâmplă să facă viața mult mai ușoară. Folosind formula cosinusului cu unghi dublu:
Acestea. funcția noastră complicată nu este altceva decât y = cosx. Și aceasta este o funcție de tabel. Primim imediat:
Răspuns: y" = - sin x.
Exemplu pentru absolvenți avansați și studenți:
4. Aflați derivata funcției:
Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor, desigur. Dar dacă vă amintiți matematica elementară, operațiile cu puteri... Atunci este foarte posibil să simplificați această funcție. Ca aceasta:
Și x la puterea unei zecimi este deja o funcție tabelară! Al treilea grup, n=1/10. Scriem direct după formula:
Asta e tot. Acesta va fi răspunsul.
Sper că totul este clar cu primul pilon de diferențiere - tabelul derivatelor. Rămâne să ne ocupăm de cele două balene rămase. În lecția următoare vom învăța regulile de diferențiere.