O secvență de numere infinită este o funcție numerică definită pe mulțimea tuturor numerelor naturale. Forma generală: a 1 ; a 2; a 3; ... un n ; ... (sau (un n)).
Metode de specificare a secvențelor:
1. Secvența poate fi specificată folosind o formulă care indică modul în care se calculează valoarea sa a din numărul n al membrului secvenței.
O secvență în care toți termenii iau valori egale se numește o secvență constantă.
2. Metoda recurentă (inductivă): constă în precizarea unei reguli (de obicei o formulă) care să permită calcularea termenului general al secvenței prin cele precedente, și precizarea mai multor termeni inițiali ai secvenței. Această formulă se numește relație recurentă.
3. Secvența poate fi specificată verbal, adică. descrierea membrilor săi.
Când studiați secvențele, este convenabil să folosiți reprezentarea lor geometrică. Există în principal 2 metode utilizate pentru aceasta:
1. Pentru că secvența (a n) este o funcție definită pe N, apoi poate fi reprezentată ca un grafic al acestei funcții cu coordonatele punctelor (n; a n).
2. Membrii șirului (a n) pot fi reprezentați prin puncte x = a n.
Secvențe mărginite și nemărginite.
O secvență (a n) se numește mărginită dacă există numere M și m astfel încât inegalitatea m≤a n ≤M este valabilă. Altfel se numește nelimitat.
Există 3 tipuri de secvențe nelimitate:
1. Pentru el există m și nu există M - în acest caz este mărginit dedesubt și nemărginit deasupra.
2. Pentru ea nu există m și există M - în acest caz este nemărginit de jos și mărginit de sus.
3. Pentru ea nu există nici m, nici M - în acest caz nu este limitat nici de jos, nici de sus.
Secvențe monotone.
Secvențele monotone includ secvențe descrescătoare, strict descrescătoare, crescătoare și strict crescătoare.
O secvență (a n) se numește descrescătoare dacă fiecare membru anterior nu este mai mic decât următorul: a n +1 ≤a n.
O secvență (a n) se numește strict descrescătoare dacă fiecare membru anterior este strict mai mare decât următorul: a n >a 2 >a 3 >...>a n +1 >...
O secvență (a n) se numește crescătoare dacă fiecare membru ulterior nu este mai mic decât cel anterior: a n ≤a n +1.
O secvență se numește strict crescătoare dacă fiecare termen ulterior este strict mai mare decât cel anterior: a 1
Limita secvenței de numere. Teoreme de bază despre limite. Un număr a se numește limita unei secvențe (a n) dacă pentru fiecare număr pozitiv ε există un număr natural N astfel încât pentru orice n>N să fie valabilă următoarea inegalitate: |a n – a|< ε. În acest caz se scrie: lim a n = a, sau a n ->a pentru n->∞. O secvență care are o limită se numește convergentă, iar o secvență care nu are limită se numește divergentă. Dacă o secvență are o limită, atunci este mărginită. Fiecare succesiune convergentă are o singură limită. Se spune că o secvență este infinitezimală dacă limita sa este zero. Pentru ca numărul a să fie limita șirului (a n), este necesar și suficient ca a n să aibă reprezentarea a n = a + α n, unde (α n) este o secvență infinitezimală. Suma a două secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală. Produsul unei secvențe infinitezimale și a unei secvențe mărginite este o secvență infinitezimală. Teoreme limită: 1. La limita sumei: Dacă șirul (a n) și (în n) converg, atunci converge și șirul (a n + în n): lim (a n + în n) = lim a n + lim în n. n ->∞ n ->∞ n ->∞ 2. La limita produsului: Dacă șirurile (a n) și (în n) converg, atunci și șirul (a n ∙ în n) converge: lim (a n ∙ în n) = lim a n ∙ lim în n. n ->∞ n ->∞ n ->∞ Corolarul 1: factorul constant poate fi luat dincolo de semnul limită: lim (ca n) = c ∙ lim a n n ->∞ n ->∞ 3. Dacă șirurile (a n) și (în n) converg, atunci converge și șirul (a n /in n): lim (a n / în n) = (lim a n)/ (lim în n). n ->∞ n ->∞ n ->∞ Funcţie. Metode pentru specificarea unei funcții. Dacă fiecare element x, după o regulă f, este asociat cu un element y, unic pentru fiecare x, atunci ei spun că în mulțimea A se dă o funcție f cu o valoare din mulțimea B și se scrie: f: A- >B sau y = f(x). Fie dată funcția y=f (x). Apoi x nume. argument sau variabilă independentă și y este valoarea funcției sau variabilei dependente. Mulțimea A se numește domeniul de definire al funcției, iar mulțimea tuturor y asociată cu cel puțin un x este mulțimea de valori ale funcției. Domeniul de definire al unei funcții se mai numește și intervalul de valori ale argumentului sau domeniul de modificare a variabilei independente. Metode pentru specificarea unei funcții: 1. Metoda tabulară. 2. Metoda analitică: cu această metodă se indică domeniul de definire a funcției (mulțimea A) și se formulează o lege (se precizează o formulă) conform căreia fiecărui x i se asociază y-ul corespunzător. 3. Metoda descrierii verbale. 4. Metoda geometrică (grafică): definirea grafică a unei funcții înseamnă trasarea graficului acesteia. Lucrarea practică nr. 13 Specificarea secvențelor numerice în diverse moduri, calcularea termenilor secvenței. Găsirea limitelor secvenței si functii Ţintă: să învețe să scrie secvențe de numere în diverse moduri, să le descrie proprietățile; găsiți limitele secvențelor și funcțiilor. Scurtă teorie Funcția y=f (n) a argumentului natural n (n=1; 2; 3; 4;...) se numește șir de numere. Există următoarele moduri de a specifica o secvență de numere: Metoda verbală. Reprezintă un model sau o regulă pentru aranjarea membrilor unei secvențe, descrise în cuvinte. Metoda analitica. Sirul este dat de formula celui de-al n-lea termen: y n =f(n). Folosind această formulă, puteți găsi orice membru al secvenței. Metoda recurentă. Este specificată o formulă prin care fiecare termen următor este găsit prin termenii anteriori. În cazul metodei recurente de specificare a unei funcții, unul sau mai mulți primi membri ai secvenței sunt întotdeauna specificați suplimentar. Se numește șirul de numere crescând, dacă membrii săi sunt crescători (y n+1 y n) și descrescătoare dacă termenii săi sunt în scădere(y n+1 n). Se numește o secvență de numere crescătoare sau descrescătoare monoton. Fie un punct pe o dreaptă și fie un număr pozitiv. Intervalul se numește vecinătatea punctului, iar numărul este raza vecinătății. Să considerăm o secvență de numere al cărei termen comun se apropie de un număr b pe măsură ce numărul ordinal crește n. În acest caz, se spune că secvența de numere are o limită. Acest concept are o definiție mai strictă. Numărul b se numește limita șirului (y n) dacă în orice vecinătate preselectată a punctului b conține toți membrii șirului, începând de la un anumit număr. Teorema 1
Daca atunci: Limita sumei/diferenței a două secvențe este egală cu suma/diferența limitelor fiecăreia dintre ele, dacă acestea din urmă există: Limita produsului a două secvențe este egală cu produsul limitelor fiecăreia dintre ele, dacă există limitele factorilor: Limita raportului a două secvențe este egală cu raportul limitelor fiecăreia dintre ele, dacă aceste limite există și limita numitorului nu este zero: Pentru orice indicator natural m și orice coeficient k, următoarea relație este valabilă: Teorema 1
Daca atunci: Limita sumei/diferenței a două funcții este egală cu suma/diferența limitelor fiecăreia dintre ele, dacă acestea din urmă există: ; Limita produsului a două funcții este egală cu produsul limitelor fiecăreia dintre ele, dacă există limitele factorilor: Limita raportului a două funcții este egală cu raportul limitelor fiecăreia dintre ele, dacă aceste limite există și limita numitorului nu este egală cu zero: Factorul constant poate fi luat dincolo de semnul limită: Funcția y=f(x) se numește continuă în punctul x=a dacă limita funcției y=f(x) pe măsură ce x tinde spre a este egală cu valoarea funcției în punctul x=a. Prima limită remarcabilă:
. Sarcini practice pentru munca la clasă Definiți secvența analitic și găsiți primii cinci termeni ai acestei secvențe: a) fiecare număr natural este asociat cu numărul său opus; b) fiecare număr natural este asociat cu rădăcina pătrată a acestui număr; c) fiecare număr natural este asociat cu numărul -5; d) fiecărui număr natural i se atribuie jumătate din pătratul său. 2. Folosind formula dată pentru al n-lea termen, calculați primii cinci termeni ai șirului (y n): 3. Secvența este limitată? 4. Secvența este în scădere sau în creștere? 5. Notati vecinatatea punctului a=-3 de raza r=0,5 ca interval. 6. Vecinătatea cărui punct și ce rază este intervalul (2,1;2,3). 7. Calculați limita șirului: 8. Calculați: Muncă independentă Opțiunea 1 Partea A
Partea B
Partea C
7. Calculați: Opțiunea 2 Partea A
Partea B
6. Calculați limita șirului: Partea C
7. Calculați: Opțiunea 3 Partea A
Partea B
6. Calculați limita șirului: Partea C
7. Calculați: Opțiunea 4 Partea A
Partea B
6. Calculați limita șirului: Partea C
7. Calculați: Întrebări de control Ce este o secvență de numere? În ce moduri puteți specifica o secvență de numere? Ce succesiune se numește mărginită mai sus? Ce succesiune se numește mărginită mai jos? Ce succesiune se numește crescător? Care succesiune se numește descrescătoare? Ce se numește limita unei secvențe de numere? Enumerați regulile pentru calcularea limitelor secvențelor. Enumerați regulile pentru calcularea limitelor funcțiilor. Lecția nr. 32 Data ____________ Algebră Clasa: 9 "B" Subiect: „Succesiunea numerică și metodele de atribuire a acesteia.” Scopul lecției: Elevii ar trebui să știe ce este o secvență de numere; metode de specificare a unei secvențe numerice; să poată distinge diferitele moduri de specificare a secvenţelor de numere. Materiale didactice: fișe, note justificative. Ajutoare tehnice de instruire: prezentare pe tema „Secvențe de numere”. În timpul orelor. 1. Moment organizatoric. 2. Stabilirea obiectivelor lecției. Astăzi, la clasă, veți învăța: Ce este o secvență? Ce tipuri de secvențe există? Cum este specificată secvența de numere? Învață să scrii o secvență folosind o formulă și numeroasele ei elemente. Învață să găsești membrii unei secvențe. 3.Lucrează asupra materialului studiat. 3.1. Etapa pregătitoare. Băieți, să vă testăm abilitățile logice. Voi enumera câteva cuvinte și trebuie să continuați: -Luni Marți,….. - Ianuarie februarie Martie…; – Glebova L, Ganovichev E, Dryahlov V, Ibraeva G,…..(lista clasei); –10,11,12,…99; Din răspunsurile băieților, se ajunge la concluzia că sarcinile de mai sus sunt secvențe, adică un fel de serii ordonate de numere sau concepte, când fiecare număr sau concept este strict în locul lui, iar dacă membrii sunt schimbati, secvența va fi spart (marți, joi, luni este pur și simplu o listă de zile ale săptămânii). Deci, subiectul lecției este secvența numerelor. 3.1. Explicarea noului material. (Material demonstrativ) Analizând răspunsurile elevilor, dați o definiție a unei secvențe de numere și arătați modalități de atribuire a secvențelor de numere. (Lucrul cu manualul p. 66 – 67) Definiția 1.
Funcția y = f(x), xN se numește funcție a unui argument natural sau a unei secvențe numerice și se notează: y = f(n) sau y 1, y 2, y 3, ..., y n, .. sau (y n). În acest caz, variabila independentă este un număr natural. Cel mai adesea vom desemna secvențe după cum urmează: ( A n), (b n), (Cu n) etc. Definiția 2.
Membrii secvenței. Elementele care formează o secvență se numesc membri ai secvenței. Concepte noi: membru anterior și ulterior al unei secvențe, A 1
…A P. (primul și al n-lea termen al secvenței) Metode pentru specificarea unei secvențe de numere.
Metoda analitica.
Orice element al n-lea al secvenței poate fi determinat folosind o formulă (material demonstrativ) Explorați exemple Exemplul 1. Succesiunea numerelor pare: y = 2n. Exemplul 2. Secvența pătratului numerelor naturale: y = n 2 ; 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, ... . Exemplul 3. Secvență staționară: y = C; C, C, C, ..., C, ... . Caz special: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... . Exemplul 4. Secvența y = 2 n ; 2, 2 2, 2 3, 2 4, ..., 2 n, ... . Metoda verbală.
Regulile de specificare a unei secvențe sunt descrise în cuvinte, fără a specifica formule, sau atunci când nu există un model între elementele secvenței. Exemplul 1: Aproximații numericeπ.
Exemplul 2. Succesiunea numerelor prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... . Exemplul 3. Succesiunea numerelor divizibile cu 5. Exemplul 2. Set arbitrar de numere: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... . Exemplul 3. Secvența numerelor pare 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... . Metoda recurentă.
Metoda recurentă constă în specificarea unei reguli care să permită calcularea celui de-al n-lea membru al unei secvențe dacă sunt specificati primii câțiva membri ai acesteia (cel puțin un prim membru) și o formulă care să permită calculul următorului său membru folosind membrii anteriori. Termen recurent
provine din cuvântul latin recurent
, care înseamnă întoarce-te
. Când calculăm termenii unei secvențe folosind această regulă, se pare că ne întoarcem tot timpul înapoi, calculând următorul termen pe baza celui precedent. Particularitatea acestei metode este că pentru a determina, de exemplu, al 100-lea membru al secvenței, trebuie mai întâi să determinați toți cei 99 de membri anteriori. Exemplu 1
.
a 1 =a, a n+1 =a n +0,7. Fie a 1 =5, atunci secvența va arăta astfel: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... . Exemplul 2. b 1 = b, b n +1 = ½ b n. Fie b 1 =23, atunci șirul va arăta astfel: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... . Exemplul 3. Secvența Fibonacci. Această secvență este ușor de specificat recursiv: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 dacă n=3, 4, 5, 6, ... . Va arata ca: 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (P Al treilea termen al acestei secvențe este egal cu suma celor doi termeni anteriori) Este dificil de definit analitic șirul lui Fibonacci, dar este posibil. Formula prin care este determinat orice element al acestei secvențe arată astfel: Informații suplimentare: Negustorul italian Leonardo din Pisa (1180-1240), cunoscut mai bine sub porecla lui Fibonacci, a fost un matematician important al Evului Mediu. Folosind această secvență, Fibonacci a determinat numărul φ
(fi); φ=1,618033989. Metoda grafică
Membrii secvenței pot fi reprezentați prin puncte de pe planul de coordonate. Pentru a face acest lucru, numărul este reprezentat de-a lungul axei orizontale, iar valoarea membrului corespunzător al secvenței este reprezentată de-a lungul axei verticale. Pentru a consolida metodele de atribuire, vă rugăm să dați mai multe exemple de secvențe care sunt specificate fie verbal, fie analitic, fie recurent. Tipuri de secvențe de numere
(Tipurile de secvențe sunt practicate folosind secvențele enumerate mai jos).
Lucrul cu manualul pp. 69-70 1) Crescator - daca fiecare termen este mai mic decat urmatorul, i.e. A n
A n +1. 2) Descrescătoare – dacă fiecare termen este mai mare decât următorul, i.e. A n
A n +1 . 3) infinit. 4) Finală. 5) Semn alternativ. 6) Constant (staționar). O secvență crescătoare sau descrescătoare se numește monotonă. 3; 6; 9; 12; 15; 18;… –1; 2; –3; 4; –5; … 1, 4, 9, 16
,… –1; 2; –3; 4; –5; 6; … 3; 3; 3; 3; …; 3; … . Lucrul cu manualul: să o facem oral nr. 150, 159 p. 71, 72 3.2. Consolidarea materialului nou. Rezolvarea problemelor. Pentru consolidarea cunoștințelor se selectează exemple în funcție de nivelul de pregătire al elevilor. Exemplul 1. Creați o formulă posibilă pentru al n-lea element al secvenței (y n): a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...; b) 4, 8, 12, 16, 20, ...; Soluţie. a) Aceasta este o succesiune de numere impare. Analitic, această secvență poate fi dată prin formula y = 2n+1. b) Aceasta este o succesiune numerică în care elementul următor este mai mare decât precedentul cu 4. Analitic, această succesiune poate fi dată prin formula y = 4n. Exemplul 2. Notați primele zece elemente ale șirului dat în mod recurent: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1, dacă n = 3, 4, 5, 6, .... Soluţie. Fiecare element ulterior al acestei secvențe este egal cu suma celor două elemente anterioare. Exemplul 3. Secvența (y n) este dată recurent: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2. Definiți această secvență analitic. Soluţie. Să găsim primele câteva elemente ale secvenței. y3 =5y2 -6y1 =10-6=4; y4 =5y3 -6y2 =20-12=8; y5 =5y4 -6y3 =40-24=16; y 6 = 5y 5 -6y 4 = 80-48=32; y 7 =5y 6 -6y 5 =160-96=64. Obținem succesiunea: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., care poate fi reprezentat ca 2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... . n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... . Analizând șirul, obținem următorul model: y = 2 n -1 . Exemplul 4. Având în vedere șirul y n =24n+36-5n 2 . a) Câți membri pozitivi are? b) Aflați cel mai mare element al șirului. c) Există un element cel mai mic în această secvență? Această secvență de numere este o funcție de forma y = -5x 2 +24x+36, unde x a) Aflați valorile funcției la care -5x 2 +24x+360. Să rezolvăm ecuația -5x 2 +24x+36=0. D = b 2 -4ac = 1296, X 1 = 6, X 2 = -1,2. Ecuația pentru axa de simetrie a parabolei y = -5x 2 +24x+36 poate fi găsită folosind formula x=, obținem: x=2,4. Inegalitatea -5x 2 +24x+360 este valabilă pentru -1,2 Există cinci numere naturale în acest interval (1, 2, 3, 4, 5). Aceasta înseamnă că într-o anumită secvență există cinci elemente pozitive ale secvenței. b) Cel mai mare element al secvenței este determinat prin metoda de selecție și este egal cu y 2 =64. c) Nu există cel mai mic element. 3.4.Sarcini pentru munca independentă Dacă fiecare număr natural n este asociat cu un număr real x n, atunci spunem că dat succesiune de numere X 1 , X 2 , … x n , … Număr X 1 este numit membru al secvenței cu numarul 1
sau primul termen al secvenței, număr X 2 - membru al secvenței cu numarul 2
sau al doilea membru al secvenței etc. Se numește numărul x n membru al secvenței cu număr n. Există două moduri de a specifica secvențele de numere - cu și cu formulă recurentă. Secvență folosind formule pentru termenul general al unei secvențe– aceasta este o sarcină de secvență X 1 , X 2 , … x n , … folosind o formulă care exprimă dependența termenului x n de numărul său n. Exemplul 1. Secvență de numere 1, 4, 9, … n 2 , … dat folosind formula termenului comun x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … Specificarea unei secvențe folosind o formulă care exprimă un membru al secvenței x n prin membrii secvenței cu numere precedente se numește specificarea unei secvențe folosind formulă recurentă. X 1 , X 2 , … x n , … numit în ordine crescătoare, Mai mult membru anterior. Cu alte cuvinte, pentru toată lumea n X n + 1 >X n Exemplul 3. Succesiunea numerelor naturale 1, 2, 3, … n, … este secvență ascendentă. Definiție 2. Succesiunea numerelor X 1 , X 2 , … x n , … numit succesiune descendentă dacă fiecare membru al acestei secvenţe Mai puțin membru anterior. Cu alte cuvinte, pentru toată lumea n= 1, 2, 3, … inegalitatea este satisfăcută X n + 1 < X n Exemplul 4. Urmare dat de formula este succesiune descendentă. Exemplul 5. Secvență de numere 1, - 1, 1, - 1, … dat de formula x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, … nu este nici în creștere, nici în scădere secvenţă. Definiția 3. Se numesc secvențe de numere crescătoare și descrescătoare secvențe monotone. Definiție 4. Succesiunea numerelor X 1 , X 2 , … x n , … numit limitat de sus, dacă există un număr M astfel încât fiecare membru al acestei secvenţe Mai puțin numerele M. Cu alte cuvinte, pentru toată lumea n= 1, 2, 3, … inegalitatea este satisfăcută Definiție 5. Succesiunea numerelor X 1 , X 2 , … x n , … numit delimitat mai jos, dacă există un număr m astfel încât fiecare membru al acestei secvenţe Mai mult numere m. Cu alte cuvinte, pentru toată lumea n= 1, 2, 3, … inegalitatea este satisfăcută Definiție 6. Succesiunea numerelor X 1 , X 2 , … x n , … se numește limitat dacă limitat atât deasupra cât și dedesubt. Cu alte cuvinte, există numere M și m astfel încât pentru toate n= 1, 2, 3, … inegalitatea este satisfăcută m< x n < M Definiţia 7. Secvenţe numerice care nu sunt limitate, numit secvențe nelimitate. Exemplul 6. Secvență de numere 1, 4, 9, … n 2 , … dat de formula x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … , mărginit mai jos, de exemplu, numărul 0. Cu toate acestea, această secvență nelimitat de sus. Exemplul 7. Urmare dat de formula este secvență limitată, pentru că pentru toată lumea n= 1, 2, 3, … inegalitatea este satisfăcută Pe site-ul nostru vă puteți familiariza și cu materialele educaționale elaborate de profesorii centrului de pregătire Resolventa pentru pregătirea pentru Examenul Unificat de Stat și Examenul Unificat de Stat la matematică. Pentru școlari care vor să se pregătească bine și să treacă Examenul de stat unificat la matematică sau limba rusă pentru un scor mare, Centrul educațional„Resolventa” conduceSecvențe mărginite și nemărginite
cursuri pregătitoare pentru școlari din clasele a 10-a și a 11-a |
Este dată definiția unei secvențe numerice. Sunt luate în considerare exemple de secvențe infinit crescătoare, convergente și divergente. Se consideră o succesiune care conține toate numerele raționale.
Definiție .
Succesiunea numerică (xn)
este o lege (regulă) conform căreia, pentru fiecare număr natural n = 1, 2, 3, . . .
se atribuie un anumit număr x n.
Elementul x n este numit al n-lea termen sau un element al unei secvențe.
Secvența este notată ca al n-lea termen cuprins între acolade: . Sunt posibile și următoarele denumiri: . Ele indică în mod explicit că indicele n aparține mulțimii numerelor naturale și secvența în sine are un număr infinit de termeni. Iată câteva exemple de secvențe:
,
,
.
Cu alte cuvinte, o secvență de numere este o funcție al cărei domeniu de definiție este mulțimea numerelor naturale. Numărul de elemente ale secvenței este infinit. Printre elemente pot fi și membri care au aceleași semnificații. De asemenea, o secvență poate fi considerată ca un set numerotat de numere format dintr-un număr infinit de membri.
Ne va interesa în principal întrebarea cum se comportă secvențele atunci când n tinde spre infinit: . Acest material este prezentat în secțiunea Limita unei secvențe - teoreme de bază și proprietăți. Aici ne vom uita la câteva exemple de secvențe.
Exemple de secvențe
Exemple de secvențe infinit crescătoare
Luați în considerare succesiunea. Membrul comun al acestei secvențe este . Să scriem primii termeni:
.
Se poate observa că pe măsură ce numărul n crește, elementele cresc la nesfârșit spre valori pozitive. Putem spune că această succesiune tinde spre: pentru .
Acum luați în considerare o secvență cu un termen comun. Iată primii săi membri:
.
Pe măsură ce numărul n crește, elementele acestei secvențe cresc nelimitat în valoare absolută, dar nu au semn constant. Adică această secvență tinde să: la .
Exemple de secvențe care converg către un număr finit
Luați în considerare succesiunea. Membrul ei comun. Primii termeni au următoarea formă:
.
Se poate observa că pe măsură ce numărul n crește, elementele acestei secvențe se apropie de valoarea lor limită a = 0
: la . Deci, fiecare termen ulterior este mai aproape de zero decât cel anterior. Într-un fel, putem considera că există o valoare aproximativă pentru numărul a = 0
cu eroare. Este clar că pe măsură ce n crește, această eroare tinde spre zero, adică prin alegerea lui n, eroarea poate fi făcută cât se dorește. Mai mult, pentru orice eroare dată ε > 0
se poate specifica un număr N astfel încât pentru toate elementele cu numere mai mari decât N:, abaterea numărului de la valoarea limită a să nu depășească eroarea ε:.
Apoi, luați în considerare succesiunea. Membrul ei comun. Iată câțiva dintre primii săi membri:
.
În această secvență, termenii cu numere pare sunt egali cu zero. Termenii cu n impar sunt egali. Prin urmare, pe măsură ce n crește, valorile lor se apropie de valoarea limită a = 0
. Acest lucru rezultă și din faptul că
.
La fel ca în exemplul anterior, putem specifica o eroare ε arbitrar mică > 0
, pentru care este posibil să se găsească un număr N astfel încât elementele cu numere mai mari decât N se vor abate de la valoarea limită a = 0
cu o sumă care nu depăşeşte eroarea specificată. Prin urmare, această secvență converge către valoarea a = 0
: la .
Exemple de secvențe divergente
Luați în considerare o succesiune cu următorul termen comun:
Iată primii săi membri:
.
Se poate observa că termenii cu numere pare:
,
converg spre valoarea a 1 = 0
. Membri impari:
,
converg spre valoarea a 2 = 2
. Secvența în sine, pe măsură ce n crește, nu converge către nicio valoare.
Secvență cu termeni distribuiți în intervalul (0;1)
Acum să ne uităm la o secvență mai interesantă. Să luăm un segment pe linia numerică. Să o împărțim în jumătate. Obținem două segmente. Lăsa
.
Să împărțim din nou fiecare dintre segmente în jumătate. Obținem patru segmente. Lăsa
.
Să împărțim din nou fiecare segment în jumătate. Hai sa luam
.
Și așa mai departe.
Ca rezultat, obținem o succesiune ale cărei elemente sunt distribuite într-un interval deschis (0; 1) . Indiferent de punctul pe care îl luăm din intervalul închis , putem găsi întotdeauna membri ai secvenței care vor fi în mod arbitrar aproape de acest punct sau vor coincide cu acesta.
Apoi din secvența originală se poate selecta o subsecvență care va converge către un punct arbitrar din interval . Adică, pe măsură ce numărul n crește, membrii subsecvenței se vor apropia din ce în ce mai mult de punctul preselectat.
De exemplu, pentru punctul a = 0
puteți alege următoarea secvență:
.
= 0
.
Pentru punctul a = 1
Să alegem următoarea secvență:
.
Termenii acestei subsecvențe converg către valoarea a = 1
.
Întrucât există subsecvențe care converg către sensuri diferite, atunci secvența originală în sine nu converge către niciun număr.
Secvență care conține toate numerele raționale
Acum să construim o secvență care conține toate numerele raționale. Mai mult, fiecare număr rațional va apărea într-o astfel de succesiune de un număr infinit de ori.
Numărul rațional r poate fi reprezentat astfel:
,
unde este un număr întreg; - naturală.
Trebuie să asociem fiecare număr natural n cu o pereche de numere p și q, astfel încât orice pereche p și q să fie inclusă în succesiunea noastră.
Pentru a face acest lucru, desenați axele p și q pe plan. Desenăm linii de grilă prin valorile întregi ale lui p și q. Apoi fiecare nod al acestei grile va corespunde Numar rational. Întregul set de numere raționale va fi reprezentat printr-un set de noduri. Trebuie să găsim o modalitate de a numerota toate nodurile, astfel încât să nu pierdem niciun nod. Acest lucru este ușor de făcut dacă numerotați nodurile după pătrate, ale căror centre sunt situate în punct (0; 0) (Vezi poza). În acest caz, părțile inferioare ale pătratelor cu q < 1 nu avem nevoie de ea. Prin urmare, ele nu sunt prezentate în figură.
Deci, pentru partea superioară a primului pătrat avem:
.
În continuare numărăm top parte următorul pătrat:
.
Numerotăm partea de sus a următorului pătrat:
.
Și așa mai departe.
În acest fel obținem o secvență care conține toate numerele raționale. Puteți observa că orice număr rațional apare în această secvență de un număr infinit de ori. Într-adevăr, împreună cu nodul , această secvență va include și noduri , unde - numar natural. Dar toate aceste noduri corespund aceluiași număr rațional.
Apoi, din șirul pe care am construit-o, putem selecta o subsecvență (având un număr infinit de elemente), ale cărei elemente sunt toate egale cu un număr rațional predeterminat. Deoarece secvența pe care am construit-o are subsecvențe care converg către numere diferite, atunci șirul nu converge către niciun număr.
Concluzie
Aici am dat o definiție precisă a secvenței de numere. Am pus și problema convergenței sale, bazată pe idei intuitive. Definiție precisă convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină