Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite? Dacă singura utilizare pe care o știi pentru o integrală este să folosești un croșetat în formă de pictogramă integrală pentru a obține ceva util de la locuri greu accesibile, atunci bine ai venit! Aflați cum să rezolvați integralele și de ce nu vă puteți descurca fără ea.
Studiem conceptul de „integral”
Integrarea era cunoscută în trecut Egiptul antic. Bineînțeles că nu în formă modernă, dar totusi. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. S-au distins mai ales Newton Şi Leibniz , dar esența lucrurilor nu s-a schimbat. Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Avem deja informații despre , necesare înțelegerii integralelor, pe blogul nostru.
Integrală nedefinită
Să avem o funcție f(x) .
Funcție integrală nedefinită f(x) această funcție este numită F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .
Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți despre cum în articolul nostru.
Un antiderivat există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.
Exemplu simplu:
Pentru a nu calcula în mod constant antiderivate ale funcțiilor elementare, este convenabil să le puneți într-un tabel și să utilizați valori gata făcute:
Integrală definită
Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei unei figuri, a masei unui corp neuniform, a distanței parcurse în timpul mișcării inegale și multe altele. Trebuie amintit că o integrală este suma unui număr infinit de termeni infinitezimali.
Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei funcții. Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de graficul unei funcții?
Folosind o integrală! Să împărțim trapezul curbiliniu, limitat de axele de coordonate și de graficul funcției, în segmente infinitezimale. În acest fel figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:
Punctele a și b se numesc limite de integrare.
Bari Alibasov și grupul „Integral”
Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la
Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechine
Proprietățile integralei nedefinite
Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile atunci când rezolvăm exemple.
- Derivata integralei este egala cu integrandul:
- Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:
- Integrala sumei egal cu suma integrale. Acest lucru este valabil și pentru diferența:
Proprietățile unei integrale definite
- Linearitate:
- Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt schimbate:
- La orice puncte o, bŞi Cu:
Am aflat deja că o integrală definită este limita unei sume. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta există formula Newton-Leibniz:
Exemple de rezolvare a integralelor
Mai jos vom lua în considerare câteva exemple de găsire a integralelor nedefinite. Vă sugerăm să vă dați seama de complexitatea soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.
Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesionist pentru studenți și orice integrală triplă sau curbă pe o suprafață închisă va fi în puterea dumneavoastră.
Astăzi, cuvântul „Integral” poate fi auzit destul de des și adesea în locurile cele mai neașteptate, de exemplu pe un canal de bursă la TV sau la știri. Auzim adesea expresia „indicatori integrali”, cuvântul „integrat”, „integrativ” și altele asemenea. Ei bine, de în general, oficialii și prezentatorii TV, în general, sunt foarte pasionați de diferite cuvinte inteligente, deși este puțin probabil să le înțeleagă sens adevărat. Și astăzi vom vorbi despre ce este o integrală, ce tipuri de integrală există și care sunt diferențele lor.
Ce este o integrală
Integral este un cuvânt latin care a venit la noi din antichitate și înseamnă „Întreg” sau „Complet”. Adică, este clar că, dacă au spus „întreg” despre un anumit obiect, de exemplu, un vas cu lapte, asta însemna că era plin și cât de mult lapte era în el, atât de mult a rămas.
De-a lungul timpului, acest cuvânt a început să fie folosit în discipline complet diferite - în filosofie, politică, economie, algebră și geometrie. Dar cea mai simplă interpretare a integralei este dată de matematică.
Deci, o integrală este o anumită sumă de părți individuale. Aici sunt cele mai multe exemple simple pentru o înțelegere mai clară a esenței acestui termen:
- Subiectul este integrala (suma) moleculelor.
- O foaie într-o celulă este integrala (suma) celulelor.
- Sistemul solar este integrala (suma) a soarelui și a planetelor.
- Societatea este o parte integrantă a oamenilor.
- Un segment este o integrală (suma) de metri. Dacă este un segment mic, atunci centimetri, milimetri sau segmente microscopice.
- Aria oricărei suprafețe este o integrală metri patrati, centimetri pătrați sau milimetri, precum și zone microscopice.
- Volumul este o integrală metri cubi sau, cum se mai numesc - litri.
Ce sunt integralele definite și nedefinite?
Să începem cu unul anume, deoarece sensul său este mai ușor de înțeles.
Domenii de studii de geometrie. De exemplu, dacă doriți să vă tapetați casa, trebuie să cunoașteți zona pereților pentru a ști cât tapet ar trebui să cumpărați. Apoi, pur și simplu înmulți lungimea peretelui cu înălțimea și obții suprafața acestuia. În acest caz, această zonă este integrala de metri pătrați sau centimetri, în funcție de unitățile în care ați măsurat-o. Dar suprafețele a căror zonă trebuie să o calculăm nu au întotdeauna forma unui dreptunghi, pătrat sau chiar cerc. În cele mai multe cazuri, acestea sunt figuri complexe cu laturi ondulate. Cel mai comun exemplu este aria unei figuri sub o curbă având ecuația y=1/x. Faptul este că este imposibil să-i găsim aria folosind formulele obișnuite pe care le folosim pentru a găsi aria unui pătrat, cerc sau chiar sfere. O integrală definită a fost dezvoltată în acest scop.
Esența metodei este că figura noastră complexă trebuie împărțită în dreptunghiuri foarte înguste, atât de înguste încât înălțimea fiecărei două adiacente este aproape egală. Este clar că, în esență, grosimea acestor dreptunghiuri poate fi redusă la nesfârșit, astfel încât dimensiunea dx este folosită pentru a indica grosimea lor. X este o coordonată, iar prefixul d este o desemnare pentru o cantitate infinit diminuată. Prin urmare, când scriem dx, aceasta înseamnă că luăm un segment de-a lungul axei x, a cărui lungime este foarte mică, aproape egală cu zero.
Deci, am convenit deja că aria oricărei figuri este integrala de metri pătrați sau orice alte figuri cu suprafețe mai mici. Atunci figura noastră, a cărei zonă o căutăm, este integrala sau suma acelor dreptunghiuri infinit de subțiri în care am împărțit-o. Și aria sa este suma suprafețelor lor. Adică, întreaga noastră sarcină se rezumă la găsirea ariei fiecăruia dintre aceste dreptunghiuri și apoi să le adunăm pe toate - aceasta este o integrală definită.
Acum să vorbim despre integrala nedefinită. Dar pentru a înțelege ce este, mai întâi trebuie să înveți despre derivat. Deci să începem.
Derivata este unghiul de înclinare al tangentei la orice grafic la un punct. Cu alte cuvinte, derivata este cât de mult este înclinat graficul într-o locație dată. De exemplu, o linie dreaptă în orice punct are aceeași pantă, în timp ce o curbă are o pantă diferită, dar poate fi repetată. Există formule speciale pentru calcularea derivatei, iar procesul de calcul al acesteia se numește diferențiere. Aceste. diferențierea este determinarea pantei graficului într-un punct dat.
Și pentru a face opusul - pentru a afla formula unui grafic după unghiul de înclinare a acestuia, ei recurg la operația de integrare sau de însumare a datelor despre toate punctele. Integrarea și diferențierea sunt două procese reciproc inverse. Numai că aici nu mai folosesc aceeași integrală care era în primul paragraf (pentru a determina aria), ci alta - nedefinită, adică neavând limite.
Să presupunem că știm că derivata unei anumite funcții este egală cu 5. 5 este unghiul de înclinare a graficului față de axa x într-un punct dat. Apoi, integrând derivata, aflăm că funcția acestei derivate, numită și antiderivată, este y = 5x + c, unde c este orice număr. Pentru integrare, precum și pentru diferențiere, există formule speciale care pot fi găsite în tabele.
Concluzie
În concluzie, să rezumam că principala diferență dintre o integrală definită și o integrală nedefinită este în scopurile lor. Integrale definite sunt folosite pentru a calcula parametrii mărginiți, cum ar fi aria, lungimea sau volumul, iar integralele nedefinite sunt folosite pentru a calcula parametrii care nu au limite, adică funcții.
Interesant video pe acest subiect:
Printr-o integrală definită dintr-o funcție continuă f(x) pe segmentul final [ o, b] (unde ) este incrementul unora dintre antiderivatele sale pe acest segment. (În general, înțelegerea va fi considerabil mai ușoară dacă repetați subiectul integralei nedefinite) În acest caz, se folosește notația
După cum se poate vedea în graficele de mai jos (incrementul funcției antiderivate este indicat prin ), o integrală determinată poate fi fie un număr pozitiv, fie un număr negativ(Se calculează ca diferența dintre valoarea antiderivatei în limita superioară și valoarea acestuia în limita inferioară, adică ca F(b) - F(o)).
Numerele oŞi b sunt numite limitele inferioare și, respectiv, superioare ale integrării și segmentul [ o, b] – segment de integrare.
Astfel, dacă F(x) – oarecare funcție antiderivată pt f(x), apoi, conform definiției,
(38)
Egalitatea (38) se numește formula Newton-Leibniz . Diferenţă F(b) – F(o) se scrie pe scurt după cum urmează:
Prin urmare, vom scrie formula Newton-Leibniz astfel:
(39)
Să demonstrăm că integrala definită nu depinde de ce antiderivată a integrandului este luată atunci când o calculăm. Lasă F(x) și F( X) sunt antiderivate arbitrare ale integrandului. Deoarece acestea sunt antiderivate cu aceeași funcție, ele diferă printr-un termen constant: Ф( X) = F(x) + C. De aceea
Aceasta stabilește că pe segmentul [ o, b] creșteri ale tuturor antiderivatelor funcției f(x) potrivire.
Astfel, pentru a calcula o integrală definită, este necesar să se găsească orice antiderivată a integrandului, i.e. Mai întâi trebuie să găsiți integrala nedefinită. Constant CU excluse din calculele ulterioare. Apoi se aplică formula Newton-Leibniz: valoarea limitei superioare este substituită în funcția antiderivată b , în continuare - valoarea limitei inferioare o si se calculeaza diferenta F(b) - F(a) . Numărul rezultat va fi o integrală definită..
La o = b prin definiție acceptată
Exemplul 1.
Soluţie. Mai întâi, să găsim integrala nedefinită:
Aplicarea formulei Newton-Leibniz la antiderivat
(la CU= 0), obținem
Cu toate acestea, atunci când se calculează o integrală definită, este mai bine să nu se găsească antiderivată separat, ci să se scrie imediat integrala în forma (39).
Exemplul 2. Calculați integrala definită
Soluţie. Folosind formula
Proprietățile unei integrale definite
Teorema 2.Valoarea integralei definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare, adică
(40)
Lasă F(x) – antiderivat pt f(x). Pentru f(t) antiderivatul are aceeași funcție F(t), în care variabila independentă este desemnată doar diferit. Prin urmare,
Pe baza formulei (39), ultima egalitate înseamnă egalitatea integralelor
Teorema 3.Factorul constant poate fi scos din semnul integralei definite, adică
(41)
Teorema 4.Integrala definită a unei sume algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcții, adică
(42)
Teorema 5.Dacă un segment de integrare este împărțit în părți, atunci integrala definită pe întregul segment este egală cu suma integralelor definite din părțile sale., adică Dacă
(43)
Teorema 6.La rearanjarea limitelor de integrare, valoarea absolută a integralei definite nu se modifică, ci se schimbă doar semnul acesteia., adică
(44)
Teorema 7(teorema valorii medii). O integrală definită este egală cu produsul dintre lungimea segmentului de integrare și valoarea integrandului la un moment dat în interiorul acestuia., adică
(45)
Teorema 8.Dacă limita superioară a integrării este mai mare decât cea inferioară și integrandul este nenegativ (pozitiv), atunci integrala definită este și nenegativă (pozitivă), adică. Dacă
Teorema 9.Dacă limita superioară a integrării este mai mare decât cea inferioară și funcțiile și sunt continue, atunci inegalitatea
pot fi integrate termen cu termen, adică
(46)
Proprietățile integralei definite fac posibilă simplificarea calculului direct al integralelor.
Exemplul 5. Calculați integrala definită
Folosind teoremele 4 și 3, iar când găsim antiderivate - integrale de tabel (7) și (6), obținem
Integrală definită cu limită superioară variabilă
Lasă f(x) – continuu pe segmentul [ o, b] funcția și F(x) este antiderivatul său. Luați în considerare integrala definită
(47)
si prin t variabila de integrare este desemnată pentru a nu o confunda cu limita superioară. La schimbare X se modifică și integrala definită (47), adică. este o funcţie a limitei superioare de integrare X, pe care o notăm prin F(X), adică
(48)
Să demonstrăm că funcția F(X) este un antiderivat pentru f(x) = f(t). Într-adevăr, diferențierea F(X), primim
deoarece F(x) – antiderivat pt f(x), A F(o) este o valoare constantă.
Funcţie F(X) – unul din numărul infinit de antiderivate pt f(x), și anume cel care x = o merge la zero. Această afirmație se obține dacă în egalitatea (48) punem x = oși folosiți teorema 1 din paragraful anterior.
Calculul integralelor definite prin metoda integrării pe părți și metoda schimbării variabilei
unde, prin definiție, F(x) – antiderivat pt f(x). Dacă modificăm variabila în integrand
apoi, conform formulei (16), putem scrie
În această expresie
functie antiderivata pentru
De fapt, derivatul său, conform regula de diferentiere a functiilor complexe, este egal
Fie α și β valorile variabilei t, pentru care funcția
ia valori în consecință oŞi b, adică
Dar, conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(b) – F(o) Există
În calculul diferenţial s-au luat în considerare probleme a căror rezolvare presupunea găsirea derivatei unei funcţii date. Într-un număr de cazuri, este necesar să se rezolve problema inversă: având în vedere o derivată dată, găsiți funcția care a fost diferențiată. Probleme de acest fel sunt rezolvate într-o ramură a analizei matematice numită calcul integral. Metodele de calcul integral fac posibilă rezolvarea problemelor de calcul a ariilor figurilor plane, a lungimii arcelor, a volumelor corpurilor și a altor probleme geometrice și fizice.
Exemplul 1. Fie viteza (v) a punctului la momentul (t) egală cu 2t. Să găsim o expresie pentru coordonatele unui punct la momentul (t) (punctul se mișcă în linie dreaptă).
Soluţie. Se știe că v=\frac(dx)(dt) . Deoarece în acest caz \frac(dx)(dt)=2t , răspunsul la problemă poate fi funcțiile x=t^2; x=t^2+3 etc.; V vedere generală
răspunsul la întrebarea pusă se scrie sub forma x=t^2+C, unde C este o constantă arbitrară.
Din exemplul de mai sus este clar că problema inversă are un număr infinit de soluții. Pentru a obține o anumită lege a mișcării, este necesar să se cunoască, de exemplu, poziția unui punct la momentul t=0. Dacă la t=0 avem x=0, atunci 0=0+C, și deci C=0. Deplasarea unui punct într-o perioadă de timp este egală cu(b^2+C)-(a^2+C)=b^2-a^2
și, prin urmare, nu depinde de C.
Funcția antiderivată Definiția 1. Fie dată funcția y=f(x) pe un interval X. Se numește funcția y=F(x). antiderivat
pentru f(x) pe acest interval, dacă pentru toți x\în X
F"(x)=f(x).
Termenul „antiderivat” a fost introdus de matematicianul francez J. L. Lagrange (1736-1813).
Următoarea teoremă ne permite să reducem găsirea tuturor antiderivatelor unei anumite funcții la găsirea uneia dintre ele. Teorema 1.
Dacă o funcție y=f(x) are o antiderivată F(x) pe un interval X, atunci toate funcțiile de forma F(x)+C vor fi antiderivate pentru ea pe același interval. În schimb, orice antiderivată \Phi(x) pentru funcția y=f(x),\,x\în X poate fi reprezentată ca \Phi(x)+C , unde F(x) este una dintre funcțiile antiderivate și C este o constantă arbitrară. Dovada.
Prin definiția unei antiderivate avem F"(x)=f(x). Ținând cont că derivata unei constante este egală cu zero, obținem:
Aceasta înseamnă că F(x)+C este antiderivată pentru y=f(x) pe intervalul X.
Să arătăm acum că dacă funcția y=f(x) este dată pe intervalul F și F(x) este una dintre antiderivatele pentru f(x), atunci orice antiderivată \Phi(x) poate fi reprezentată ca \Phi (x)= F(x)+C.
De fapt, prin definiția unei antiderivate avem: \Phi"(x)=f(x) și F"(x)=f(x) . Dar două funcții care au derivate egale pe intervalul X diferă doar printr-un termen constant. Aceasta înseamnă \Phi(x)=F(x)+C, care este ceea ce trebuia demonstrat.
Definiții ale integralelor nedefinite și definite
Definiția 2. Mulțimea tuturor antiderivatelor pentru funcția y=f(x) pe intervalul X se numește integrală nedefinită pentru f(x) și se notează .
Se apelează funcția y=f(x). funcția integrand Pentru \textstyle(\int f(x)\,dx), iar produsul f(x)\,dx - integrand.
Astfel, \int f(x)\,dx=\(F(x)+C\mid C\in \mathbb(R)\). În practică, se acceptă o notație mai scurtă: \int f(x)\,dx=F(x)+C.
Ei spun adesea: „ia o integrală nedefinită” sau „calculați o integrală nedefinită”, însemnând prin aceasta următoarele: găsiți mulțimea tuturor antiderivatelor pentru integrand.
Am văzut că dacă o funcție are cel puțin o antiderivată, atunci are infinite de antiderivate. În practică, este adesea necesar să se caute diferența dintre valorile antiderivatei la punctele b și a. Această diferență nu depinde de alegerea unei constante arbitrare C. Într-adevăr, dacă \Phi(x)=F(x)+C , atunci
\Phi(b)-\Phi(b)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a).
Aşa, \Phi(b)-\Phi(b)=F(b)-F(a), ceea ce trebuia dovedit.
Deoarece diferența dintre valorile antiderivatei la punctele b și a nu depinde de ce antiderivată a funcției y=f(x) alegem, această diferență se numește integrală definită a funcției pe segment.
Definiție 3. Fie dată pe un segment funcția y=f(x) și să aibă o antiderivată y=F(x) asupra acestuia. Se numește diferența F(b)-F(a). integrală definită funcțiile f(x) asupra segmentului și notăm \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx). Aşa,
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a).
Diferența F(b)-F(a) se scrie ca \Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b), Atunci \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx= \Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)). Se numesc numerele a și b limitele integrării.
De exemplu, y=\frac(x^3)(3) este una dintre antiderivatele pentru funcția y=x^2. De aceea
\int\limits_(a)^(b)x^2\,dx=\left.(\frac(x^3)(3))\right|_(a)^(b)=\frac(b^ 3)(3)-\frac(a^3)(3)=\frac(b^3-a^3)(3)\,.
Să ne oprim asupra semnificației geometrice a conceptelor introduse. Fie F(x) o antiderivată a lui f(x) . Coeficientul unghiular al tangentei în fiecare punct al graficului funcției y=F(x) este egal cu F"(x), adică f(x). Prin urmare, problema găsirii unei antiderivate geometric înseamnă următoarele: cunoscând panta tangentei în fiecare punct, găsiți curba. Deoarece, cu translația paralelă de-a lungul axei ordonatelor, coeficientul unghiular al tangentei în punctul cu o abscisă dată nu se modifică, atunci, după ce a găsit o astfel de curbă, toate celelalte curbe necesare sunt obținute din aceasta prin translație paralelă în direcția axa ordonatelor. Această familie de curbe (Fig. 1) este o ilustrare geometrică a integralei nedefinite.
Integrală definită \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a)) arată modificarea ordonatei fiecăreia dintre curbele y=F(x)+C la trecerea din punctul a în punctul b. Deoarece toate aceste curbe sunt obținute una de cealaltă prin translație paralelă în direcția axei ordonatelor, modificarea indicată a ordonatei este aceeași pentru toate curbele (Fig. 2).
Să luăm în considerare problemele a căror soluție se rezumă la calcularea integralelor definite.
Sarcina 1. Fie că punctul M se mișcă în linie dreaptă și să fie cunoscută viteza v=v(t) de mișcare a acestui punct în orice moment (x) al timpului (t) al intervalului. Să aflăm deplasarea (e) punctului M în această perioadă de timp.
Soluţie. Știm că dacă x=x(t) este legea mișcării unui punct, atunci v(t)=x"(t). Prin urmare, x(t) este una dintre antiderivatele pentru funcția v=v(t). ). Dar mișcarea (s ) a unui punct M într-o perioadă de timp este egală cu diferența de coordonate în momentele b și a, adică egală cu x(b)-x(a) Cu alte cuvinte, această deplasare este egală la diferența dintre valorile antiderivatei pentru funcția v=v(t ori b și a). s=\textstyle(\int\limits_(a)^(b)v(t)\,dt).
De exemplu, viteza unui corp în cădere liberă este exprimată prin formula v=gt. În acest caz, traseul parcurs de corpul în cădere în b secunde de la începutul căderii se calculează după cum urmează:
S=\int\limits_(0)^(b)gt\,dt= \left.(\frac(gt^2)(2) )\right|_(0)^(b)= \frac(gb^ 2)(2)\,.
Sarcina 2. Să găsim aria trapezului curbiliniu aA\,Bb, mărginit de axa x, drepte x=a și x=b și graficul unei funcții continue y=f(x), care ia numai non- valori negative pe acest segment (Fig. 3).
Înainte de a trece la rezolvarea problemei, rețineți că aici folosim o reprezentare vizuală a zonei figură plată(mai multe detalii despre determinarea zonei).
Soluţie. Să notăm cu S(x) aria trapezului curbiliniu aA\,Nx\,(a Să dăm abscisei x incrementul \Delta x (să punem \Delta x>0 pentru certitudine), apoi zona va primi incrementul \Delta S . Să notăm cu m cea mai mică valoare a funcției y=f(x) pe segmentul , iar cu M cea mai mare valoare a aceleiași funcții pe același segment. Este clar că atunci m\cdot\Delta x\leqslant\Delta S\leqslant M\cdot\Delta x, ceea ce înseamnă m\leqslant\frac(\Delta S)(\Delta x)\leqslant M. Dacă \Delta x\to 0 , atunci datorită continuității funcției y=f(x) vom avea: \lim_(\Delta x\to0)m=\lim_(\Delta x\to0)=f(x). Aceasta înseamnă că există și \lim\frac(\Delta S)(\Delta x), iar această limită este egală cu f(x) . Astfel, S"(x)=f(x) . Egalitatea rezultată înseamnă că S(x) este una dintre antiderivatele pentru funcția y=f(x) . Deoarece linia dreaptă x=a „taie” o cifră cu zonă zero din trapezul aABb, atunci S(a)=0. Pe de altă parte, S(b) este aria întregului trapez curbat aABb. Aceasta înseamnă că aria necesară S este egală cu (S(b)-S(a)), adică. este egală cu diferența dintre valorile uneia dintre antiderivate pentru funcția y=f(x) la punctele b și a. Aceasta înseamnă că \boldsymbol(S=\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\,.) Exemplul 2. Să găsim aria figurii limitată de axa x și de o sinusoidă cu jumătate de undă y=\sin(x) (Fig. 4). Soluţie. Aria necesară S este exprimată prin formula \textstyle(S=\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx). Una dintre antiderivatele pentru funcția y=\sin(x) este (-\cos(x)), deoarece (-\cos(x))"=\sin(x)). Mijloace, S= \int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(-\cos(x))\Bigr|_(0)^(\pi)= -(\ cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2. Pentru a încheia această secțiune, să ne oprim asupra a două proprietăți ale integralei nedefinite, care sunt ușor de obținut din definiție. 1°. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul, iar derivata integralei nedefinite este egală cu integrandul: D\!\left(\int f(x)\,dx\right)= f(x)\,dx,\quad \left(\int f(x)\,dx\right)"=f(x) . Dovada. Deoarece \textstyle(\int f(x)\,dx=F(x)+C), unde F"(x)=f(x) , atunci \textstyle(\left(\int f(x)\,dx\right)"= \bigl(F(x)+C\bigr)"=F"(x)+C"=f(x)). Dar atunci \textstyle(d\!\left(\int f(x)\,dx\right)= \left(\int f(x)\,dx\right)"dx=f(x)\,dx). Această afirmație este adesea folosită pentru a verifica rezultatul integrării. Să, de exemplu, trebuie să arăți asta \int5x\,dx=\frac(5)(2)\,x^2+C\quad (C=\text(const)). Diferențiând partea dreaptă a egalității, obținem integrandul: \left(\frac(5)(2)\,x^2+C\right)"=\frac(5)(2)\cdot 2x+0=5x. Mijloace, \int5x\,dx=\frac(5)(2)\,x^2+C. 2°. Integrala nedefinită a derivatei unei funcții este egală cu această funcție adăugată la o constantă arbitrară: \int F"(x)\,dx=F(x)+C. Dovada. Deoarece \bigl(F(x)+C\bigr)"=F"(x), apoi prin definiția integralei nedefinite \textstyle(\int F"(x)\,dx=F(x)+C), ceea ce trebuia dovedit. Având în vedere că F"(x)\,dx=d\bigl(F(x)\bigr), proprietatea 2° mai poate fi scrisă după cum urmează: \textstyle(\int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C). Folosind proprietatea 1° din paragraful anterior, puteți folosi tabelul de derivate pentru a crea un tabel de integrale de bază. De exemplu, din moment ce (\sin(x))"=\cos(x), Asta \int\cos(x)\,dx=\sin(x)+C.. Să demonstrăm asta \int\dfrac(1)(x)\,dx=\ln|x|+C. Într-adevăr, dacă x>0, atunci |x|=x și, prin urmare, \bigl(\ln|x|\bigr)"=\bigl(\ln(x)\bigr)"=\frac(1)(x)\,. Dacă x<0
, то |x|=-x
и, следовательно, \bigl(\ln|x|\bigr)"=\bigl(\ln(-x)\bigr)"= \frac(1)(-x)\cdot(-1)=\frac(1)(x ). Aşa, \bigl(\ln|x|\bigr)"=\frac(1)(x), ceea ce înseamnă \int\frac(1)(x)\,dx=\ln|x|+C. Această formulă poate fi aplicată fie pe fasciculul deschis (0;+\infty) fie pe fasciculul deschis (-\infty;0) . Tabelul integralelor de bază \begin(aligned)&\boldsymbol(1.)\quad \int 0\,dx=C; &\quad &\boldsymbol(2.)\quad \int 1\,dx=\int dx=x+C;\\ &\boldsymbol(3.)\quad \int x^(a)\,dx=\ frac(x^(a+1))(a+1)+C,~a\ne-1; &\quad &\boldsymbol(4.)\quad \int \frac(dx)(x)=\ln(x)+C;\\ &\boldsymbol(5.)\quad \int \frac(dx)( a^2+x^2)=\frac(1)(a)\operatorname(arctg)\frac(x)(a)+C; &\quad &\boldsymbol(6.)\quad \int \frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin\frac(x)(a)+C;\\ &\ boldsymbol(7.)\quad \int a^x\,dx=\frac(a^x)(\ln a)+C; &\quad &\boldsymbol(8.)\quad \int e^x\,dx=e^x+C;\\ &\boldsymbol(9.)\quad \int \sin(x)\,dx=- \cos(x)+C; &\quad &\boldsymbol(10.)\quad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C;\\ &\boldsymbol(11.)\quad \int \frac(dx)( \sin^2x)=-\operatorname(ctg)x+C; &\quad &\boldsymbol(12.)\quad \int \frac(dx)(\cos^2x)=\operatorname(tg)x+C;\\ &\boldsymbol(13.)\quad \int \frac (dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln\! \left|\frac(x-a)(x+a)\right|+C; &\quad &\boldsymbol(14.)\quad \int \frac(dx)(\sqrt(x^2\pm a^2))=\ln \bigl|x+\sqrt(x^2\pm a^ 2)\bigr|+C.\\ \end(aliniat) Rețineți că variabila x inclusă în aceste formule poate fi înlocuită cu oricare alta. De exemplu, în locul formulei \textstyle(\int\cos(x)\,dx= \sin(x)+C) poti scrie \textstyle(\int\cos(t)\,dt= \sin(t)+C) etc. Exemplul 3. Să calculăm integrale nedefinite ale diferitelor fracții: \mathsf(1))~\int\frac(dx)(\sqrt(x))\,;\quad \mathsf(2))~\int\frac(dx)(x^2+16)\,; \quad \mathsf(3))~\int\frac(dx)(x^2-16)\,;\quad \mathsf(4))~\int\frac(dx)(\sqrt(3-x^ 2))\,;\quad \mathsf(5))~\int\frac(dx)(\sqrt(x^2-3))\,. Soluţie. 1) Să folosim formula 3 din tabelul de integrale: \int\frac(dx)(\sqrt(x))= \int x^(-1/3)\,dx= \frac(x^(-1/3+1))(-1/3+1 )+C= \frac(3)(2)\,x^(2/3)+C; 2) Să folosim formula 5: \int\frac(dx)(x^2+16)= \int\frac(dx)(x^2+4^2)=\frac(1)(4) \operatorname(arctg)\frac(x) (2)+C;. 3) Să folosim formula 12: \int\frac(dx)(x^2-16)= \int\frac(dx)(x^2-4^2)= \frac(1)(8)\ln\!\left|\frac( x-4)(x+4)\right|+C;. 4) Să folosim formula 6: \int\frac(dx)(\sqrt(3-x^2))= \int\frac(dx)(\sqrt((\sqrt(3))^2-x^2))= \arcsin\frac (x)(\sqrt(3))+C;. 5) Să folosim formula 13: \int\frac(dx)(\sqrt(x^2-3))= \ln\Bigl|x+\sqrt(x^2-3)\Bigr|+C..Tabelul integralelor de bază
Pentru a efectua calcule, trebuie să activați controalele ActiveX!