Definiție. Sistem m ecuații cu n necunoscute în vedere generala se scrie astfel:
Unde aij sunt coeficienți și b i- permanentă.
Soluțiile sistemului sunt n numere care, atunci când sunt substituite în sistem, transformă fiecare dintre ecuațiile sale într-o identitate.
Definiție. Dacă un sistem are cel puțin o soluție, atunci se numește consistent. Dacă sistemul nu are o soluție, atunci se numește inconsistent.
Definiție. Un sistem se numește definit dacă are o singură soluție și nedefinit dacă are mai multe.
Definiție. Pentru un sistem de ecuații liniare, matricea
A = se numește matricea sistemului, iar matricea
A*= se numește matricea augmentată a sistemului
Definiție. Dacă b 1 , b 2 , …,b m = 0, atunci se spune că sistemul este omogen. Cometariu. Un sistem omogen este întotdeauna consistent, pentru că are întotdeauna o soluție zero.
Transformări elementare ale sistemelor.
1. Adunarea la ambele părți ale unei ecuații a părților corespunzătoare ale celeilalte, înmulțite cu același număr, diferit de zero.
2. Rearanjarea ecuațiilor pe locuri.
3. Scoaterea din sistemul de ecuații care sunt identități pentru toți X.
Formule Cramer.
Această metodă este aplicabilă și numai în cazul sistemelor de ecuații liniare, unde numărul de variabile coincide cu numărul de ecuații.
Teorema. Sistem de n ecuații cu n necunoscute
dacă determinantul matricei sistemului nu este egal cu zero, atunci sistemul are o soluție unică și această soluție se găsește prin formulele: x i = Unde D = det A, A D i este determinantul matricei obtinute din matricea sistemului prin schimbarea coloanei i coloana membrilor liberi b i.
D i =
Exemplu. Găsiți o soluție a sistemului de ecuații:
D \u003d \u003d 5 (4 - 9) + (2 - 12) - (3 - 8) \u003d -25 - 10 + 5 \u003d -30;
D 1 \u003d \u003d (28 - 48) - (42 - 32) \u003d -20 - 10 \u003d -30.
D 2 \u003d\u003d 5 (28 - 48) - (16 - 56) \u003d -100 + 40 \u003d -60.
D 3 \u003d \u003d 5 (32 - 42) + (16 - 56) \u003d -50 - 40 \u003d -90.
Observație 1. Dacă sistemul este omogen, de ex. b i = 0, atunci pentru D¹0 sistemul are o soluție unică zero x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0.
Observația 2. La D=0 Sistemul are un număr infinit de soluții.
Metoda matricei inverse.
Metoda matricei este aplicabilă rezolvării sistemelor de ecuații în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute.
Să fie dat sistemul de ecuații: Să facem matrice:
A= - matrice de coeficienți pentru variabile sau matrice de sistem;
B = - matrice-coloană de membri liberi;
X = - matrice - coloana de necunoscute.
Atunci sistemul de ecuații se poate scrie: A×X = B.Înmulțiți în stânga ambele părți ale egalității cu A -1: A -1 ×A×X = A -1 ×B deoarece A -1 × A \u003d E, Acea E × X \u003d A -1 × B, atunci următoarea formulă este adevărată:
X \u003d A -1 × B
Astfel, pentru a aplica această metodă, este necesar să se găsească matrice inversă.
Exemplu. Rezolvați sistemul de ecuații:
X = , B = , A =
Aflați matricea inversă A -1 .
D = det A = 5(4-9) + 1(2 - 12) - 1(3 - 8) = -25 - 10 +5 = -30≠0 ⇒ matrice inversă există.
M11 =; M21 = ; M31 =;
M12 = M22 = M32 =
M13 = M23 = M33 =
A -1 = ;
Sa verificam:
A×A -1 = =E.
Găsim matricea X.
X \u003d \u003d A -1 B \u003d × =
.
Avem soluții de sistem: x=1; y=2; z = 3.
4. Metoda Gauss.
Lasă sistemul m ecuații liniare cu n necunoscut:
Presupunând că în sistem coeficientul A 11 este diferit de zero (dacă nu este cazul, atunci ecuația cu un coeficient diferit de zero la X 1). Transformăm sistemul după cum urmează: lăsăm prima ecuație neschimbată și excludem necunoscutul din toate celelalte ecuații X 1 folosind transformări echivalente descrise mai sus.
În sistemul rezultat
,
presupunând că (ceea ce se poate obține întotdeauna prin rearanjarea ecuațiilor sau termenilor în interiorul ecuațiilor), lăsăm neschimbate primele două ecuații ale sistemului, iar din ecuațiile rămase, folosind a doua ecuație, folosind transformări elementare, excludem necunoscuta X 2. În sistemul nou primit
sub rezerva condiției, lăsăm primele trei ecuații neschimbate, iar din toate celelalte, folosind a treia ecuație, transformările elementare exclud necunoscutul X 3 .
Acest proces continuă până la unul dintre cei trei cazuri posibile:
1) dacă ca rezultat ajungem la un sistem, a cărui ecuație are coeficienți zero pentru toate necunoscutele și un termen liber diferit de zero, atunci sistemul original este inconsecvent;
2) dacă în urma transformărilor obținem un sistem cu o matrice de coeficienți triunghiulari, atunci sistemul este compatibil și este definit;
3) dacă se obține un sistem treptat de coeficienți (și condiția de la paragraful 1 nu este îndeplinită), atunci sistemul este consistent și nedefinit.
Luați în considerare sistemul pătratului :
(1)
Acest sistem are un coeficient A 11 este diferit de zero. Dacă această condiție nu ar fi îndeplinită, atunci pentru a o obține, ar fi necesară rearanjarea ecuațiilor, punând mai întâi ecuația pentru care coeficientul la X 1 nu este egal cu zero.
Să efectuăm următoarele transformări ale sistemului:
1) pentru că A 11 ¹0, lăsăm prima ecuație neschimbată;
2) în locul celei de-a doua ecuații scriem ecuația obținută prin scăderea primei înmulțite cu 4 din a doua ecuație;
3) în loc de a treia ecuație, scriem diferența dintre a treia și prima, înmulțită cu 3;
4) în loc de a patra ecuație, scriem diferența dintre a patra și prima, înmulțită cu 5.
Primit sistem nou este echivalent cu cel original și are în toate ecuațiile, cu excepția primei, zero coeficienți la X 1 (acesta a fost scopul transformărilor 1 - 4): (2)
Pentru transformarea de mai sus și pentru toate transformările ulterioare, nu ar trebui să rescrie complet întregul sistem, așa cum tocmai s-a făcut. Sistemul initial poate fi reprezentat ca o matrice
. (3)
Matricea (3) se numește matrice extinsă pentru sistemul original de ecuații. Dacă eliminăm coloana de membri liberi din matricea extinsă, obținem matricea coeficienților sistemului, care uneori este numit simplu matricea sistemului.
Sistemul (2) corespunde matricei augmentate
.
Să transformăm această matrice după cum urmează:
1) vom lăsa primele două linii neschimbate, de la elementul A 22 nu este zero;
2) în loc de a treia linie, scriem diferența dintre a doua linie și a treia dublată;
3) al patrulea rând se înlocuiește cu diferența dintre al doilea rând dublat și al patrulea rând înmulțit cu 5.
Rezultatul este o matrice corespunzătoare unui sistem a cărui necunoscută X 1 este exclus din toate ecuațiile, cu excepția primei și a necunoscutului X 2 - din toate ecuațiile, cu excepția primei și a doua:
.
Acum eliminăm necunoscutul X 3 din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, transformăm ultima matrice după cum urmează:
1) primele trei rânduri vor rămâne neschimbate, deoarece A 33¹ 0;
2) a patra linie se înlocuiește cu diferența dintre a treia, înmulțită cu 39, și a patra: .
Matricea rezultată corespunde sistemului
. (4)
Din ultima ecuație a acestui sistem obținem X 4 = 2. Înlocuind această valoare în a treia ecuație, obținem X 3 = 3. Acum din a doua ecuație rezultă că X 2 = 1, iar din primul - X 1 = -1. Este evident că soluția obținută este unică (din moment ce valoarea X 4, atunci X 3 etc.).
Definiție: Să numim o matrice pătrată, care are alte numere decât zero pe diagonala principală și zerouri sub diagonala principală, matrice triunghiulară.
Matricea coeficienților sistemului (4) este o matrice triunghiulară.
Cometariu: Dacă, cu ajutorul transformărilor elementare, matricea coeficienților unui sistem pătrat poate fi redusă la o matrice triunghiulară, atunci sistemul este consistent și definit.
Luați în considerare un alt exemplu: . (5)
Să efectuăm următoarele transformări ale matricei extinse a sistemului:
1) lăsați prima linie neschimbată;
2) în loc de a doua linie, scriem diferența dintre a doua linie și de două ori prima;
3) în loc de a treia linie, scriem diferența dintre a treia linie și triplă primul;
4) al patrulea rând se înlocuiește cu diferența dintre al patrulea și primul;
5) al cincilea rând se înlocuiește cu diferența dintre al cincilea rând și de două ori primul.
Ca rezultat al transformărilor, obținem matricea
.
Lăsând neschimbate primele două rânduri ale acestei matrice, o reducem prin transformări elementare la următoarea formă:
.
Dacă acum, urmând metoda Gauss, care se mai numește și metoda eliminării succesive a necunoscutelor, folosind a treia linie, aduceți coeficienții la zero la zero X 3 în al patrulea și al cincilea rând, apoi după împărțirea tuturor elementelor celui de-al doilea rând la 5 și împărțirea tuturor elementelor din al treilea rând la 2, obținem matricea
.
Fiecare dintre ultimele două rânduri ale acestei matrice corespunde ecuației 0 X 1 +0X 2 +0X 3 +0X 4 +0X 5 = 0. Această ecuație este satisfăcută de orice set de numere X 1 ,X 2, ¼, X 5 și ar trebui să fie eliminate din sistem. Astfel, sistemul cu matricea augmentată tocmai obținută este echivalent cu sistemul cu matricea augmentată de forma
. (6)
Ultimul rând al acestei matrice corespunde ecuației
X 3 – 2X 4 + 3X 5 = -4. Dacă necunoscut X 4 și X 5 dau valori arbitrare: X 4 = De la 1; X 5 = De la 2, apoi din ultima ecuație a sistemului corespunzătoare matricei (6), obținem X 3 = –4 + 2De la 1 – 3De la 2. Înlocuirea expresiilor X 3 ,X 4, și X 5 în a doua ecuație a aceluiași sistem, obținem X 2 = –3 + 2De la 1 – 2De la 2. Acum din prima ecuație putem obține X 1 = 4 – De la 1+ De la 2. Soluția finală a sistemului este reprezentată sub formă .
Luați în considerare o matrice dreptunghiulară A, care are numărul de coloane m mai mare decât numărul de rânduri n. O astfel de matrice A Hai sa sunăm călcat.
Evident, matricea (6) este o matrice în etape.
Dacă, atunci când se aplică transformări echivalente unui sistem de ecuații, cel puțin o ecuație se reduce la forma
0X 1 + 0X 2 + ¼0 x n = B j (B j ¹ 0),
atunci sistemul este inconsecvent sau inconsecvent, deoarece nu există un set de numere X 1 , X 2, ¼, x n nu satisface aceasta ecuatie.
Dacă, la transformarea matricei extinse a sistemului, matricea coeficienților este redusă la o formă de pas și sistemul nu se dovedește a fi inconsecvent, atunci sistemul este consistent și este nedefinit, adică are infinit de solutii.
În acest din urmă sistem, toate soluțiile pot fi obținute prin acordarea unor valori numerice specifice parametrilor De la 1Și De la 2.
Definiție: Acele variabile ai căror coeficienți sunt pe diagonala principală a matricei pasului (aceasta înseamnă că acești coeficienți sunt nenuli) se numesc o principal. În exemplul de mai sus, acestea sunt necunoscutele X 1 , X 2 , X 3 . Restul variabilelor sunt numite minor.În exemplul de mai sus, acestea sunt variabilele X 4, și X 5 . Variabilelor non-primare li se poate atribui orice valoare sau exprimate prin parametri, așa cum se face în ultimul exemplu.
Variabilele de bază sunt exprimate în mod unic în termeni de variabile non-core.
Definiție: Dacă variabilelor care nu sunt de bază li se dau valori numerice specifice și variabilele principale sunt exprimate prin ele, atunci soluția rezultată se numește decizie privată.
Definiție: Dacă variabilele nebazice sunt exprimate în termeni de parametri, atunci se obține o soluție, care se numește solutie generala.
Definiție: Dacă tuturor variabilelor non-primare li se dau valori zero, atunci soluția rezultată este numită de bază.
Cometariu: Uneori poate fi adus același sistem seturi diferite principalele variabile. Deci, de exemplu, puteți schimba coloanele a 3-a și a 4-a din matrice (6). Atunci variabilele principale vor fi X 1 , X 2 ,X 4 și minor - X 3 și X 5 .
Definiție: Dacă se obțin două seturi diferite de variabile de bază cu moduri diferite de a găsi o soluție la același sistem, atunci aceste mulțimi conțin în mod necesar același număr de variabile, numite rangul sistemului.
Luați în considerare un alt sistem care are infinite de soluții: .
Să transformăm matricea extinsă a sistemului folosind metoda Gauss:
.
După cum puteți vedea, nu am obținut o matrice de etape, dar ultima matrice poate fi transformată schimbând coloanele a treia și a patra: .
Această matrice este deja treptat. Sistemul care îi corespunde are două variabile minore - X 3 , X 5 și trei principale - X 1 , X 2 , X 4 . Soluția sistemului original este prezentată în următoarea formă:
Iată un exemplu de sistem care nu are soluție:
.
Transformăm matricea sistemului conform metodei Gauss:
.
Ultimul rând al ultimei matrice corespunde ecuației de nerezolvat 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1. Prin urmare, sistemul original este inconsecvent.
Cursul numărul 3.
Tema: Vectori. Produsul scalar, vectorial și mixt al vectorilor
1. Conceptul de vector. Colinaritatea, ortogonalitatea și coplanaritatea vectorilor.
2. Operare liniară pe vectori.
3. Produsul scalar al vectorilor și aplicarea acestuia
4. Produsul încrucișat al vectorilor și aplicarea acestuia
5. Produsul mixt al vectorilor și aplicarea acestuia
1. Conceptul de vector.Colinaritatea, ortogonalitatea și complanaritatea vectorilor.
|
Desemnare: , ,
Definiție: Lungimea sau modulul unui vector este un număr egal cu lungimea segmentului AB care reprezintă vectorul.
Definiție: Un vector se numește nul dacă începutul și sfârșitul vectorului sunt aceleași.
Definiție: Un vector cu lungimea unitară se numește vector unitar. Definiție: Vectorii sunt numiți coliniari dacă se află pe aceeași linie sau pe linii paralele. ( || ).
Cometariu:
1. Vectorii coliniari pot fi dirijați în mod egal sau opus.
2. Vectorul zero este considerat coliniar oricărui vector.
Definiție: Se spune că doi vectori sunt egali dacă sunt coliniari,
au aceeași direcție și aceeași lungime ( = )
A investiga un sistem de ecuații liniare agebraice (SLAE) pentru compatibilitate înseamnă a afla dacă acest sistem are sau nu soluții. Ei bine, dacă există soluții, atunci indicați câte dintre ele.
Vom avea nevoie de informații din tema „Sistem de ecuații algebrice liniare. Termeni de bază. Notație matriceală”. În special, sunt necesare concepte precum matricea sistemului și matricea extinsă a sistemului, deoarece formularea teoremei Kronecker-Capelli se bazează pe acestea. Ca de obicei, matricea sistemului va fi notată cu litera $A$, iar matricea extinsă a sistemului cu litera $\widetilde(A)$.
Teorema Kronecker-Capelli
Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a sistemului, i.e. $\rank A=\rang\widetilde(A)$.
Permiteți-mi să vă reamintesc că un sistem se numește articulație dacă are cel puțin o soluție. Teorema Kronecker-Capelli spune așa: dacă $\rang A=\rang\widetilde(A)$, atunci există o soluție; dacă $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci acest SLAE nu are soluții (este inconsecvent). Răspunsul la întrebarea despre numărul acestor soluții este dat de un corolar al teoremei Kronecker-Capelli. Declarația corolarului folosește litera $n$, care este egală cu numărul de variabile din SLAE dat.
Corolar din teorema Kronecker-Capelli
- Dacă $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci SLAE este inconsecvent (nu are soluții).
- Dacă $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
- Dacă $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, atunci SLAE este cert (are exact o soluție).
Rețineți că teorema formulată și corolarul ei nu indică cum să găsiți soluția SLAE. Cu ajutorul lor, puteți afla doar dacă aceste soluții există sau nu și, dacă există, atunci câte.
Exemplul #1
Explorați SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned). )\right.$ pentru consecvență Dacă SLAE este consecvent, indicați numărul de soluții.
Pentru a afla existența soluțiilor la un SLAE dat, folosim teorema Kronecker-Capelli. Avem nevoie de matricea sistemului $A$ și de matricea extinsă a sistemului $\widetilde(A)$, le notăm:
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(matrice)\dreapta). $$
Trebuie să găsim $\rang A$ și $\rang\widetilde(A)$. Există multe modalități de a face acest lucru, dintre care unele sunt enumerate în secțiunea Matrix Rank. De obicei, se folosesc două metode pentru a studia astfel de sisteme: „Calculul rangului unei matrice prin definiție” sau „Calculul rangului unei matrice prin metoda transformărilor elementare”.
Metoda numărul 1. Calculul rangurilor prin definiție.
Conform definiției, rangul este cel mai înalt ordin al minorilor matricei, printre care există cel puțin unul altul decât zero. De obicei, studiul începe cu minorii de ordinul întâi, dar aici este mai convenabil să se treacă imediat la calculul minorului de ordinul trei al matricei $A$. Elementele minorului de ordinul trei se află la intersecția a trei rânduri și trei coloane ale matricei luate în considerare. Deoarece matricea $A$ conține doar 3 rânduri și 3 coloane, minorul de ordinul trei al matricei $A$ este determinantul matricei $A$, adică. $\DeltaA$. Pentru a calcula determinantul, aplicăm formula nr. 2 din subiectul „Formule pentru calcularea determinanților de ordinul doi și trei”:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$
Deci, există un minor de ordinul trei al matricei $A$, care nu este egal cu zero. Un minor de ordinul 4 nu poate fi compus, deoarece necesită 4 rânduri și 4 coloane, iar matricea $A$ are doar 3 rânduri și 3 coloane. Deci, cel mai înalt ordin al minorilor din matricea $A$, printre care există cel puțin unul diferit de zero, este egal cu 3. Prin urmare, $\rang A=3$.
De asemenea, trebuie să găsim $\rang\widetilde(A)$. Să ne uităm la structura matricei $\widetilde(A)$. Până la linia din matricea $\widetilde(A)$ există elemente ale matricei $A$ și am aflat că $\Delta A\neq 0$. Prin urmare, matricea $\widetilde(A)$ are un minor de ordinul trei care nu este egal cu zero. Nu putem compune minore de ordinul al patrulea ale matricei $\widetilde(A)$, deci concluzionăm: $\rang\widetilde(A)=3$.
Deoarece $\rang A=\rang\widetilde(A)$, conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este consistent, i.e. are o soluție (cel puțin una). Pentru a indica numărul de soluții, luăm în considerare că SLAE-ul nostru conține 3 necunoscute: $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Întrucât numărul de necunoscute este $n=3$, concluzionăm: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, prin urmare, conform corolarului teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este definit, adică. are o soluție unică.
Problema rezolvata. Care sunt dezavantajele și avantajele aceasta metoda? Mai întâi, să vorbim despre profesioniști. În primul rând, trebuia să găsim un singur determinant. După aceea, am făcut imediat o concluzie despre numărul de soluții. De obicei, în calculele tipice standard, sunt date sisteme de ecuații care conțin trei necunoscute și au o singură soluție. Pentru astfel de sisteme aceasta metoda foarte convenabil, pentru că știm dinainte că există o soluție (altfel nu ar exista niciun exemplu într-un calcul tipic). Acestea. rămâne doar să arătăm că există o soluție pentru cele mai multe drumul rapid. În al doilea rând, valoarea calculată a determinantului matricei sistemului (adică $\Delta A$) va fi utilă mai târziu: când începem să rezolvăm sistemul dat folosind metoda Cramer sau folosind matricea inversă.
Totuși, prin definiție, metoda de calcul a rangului este nedorită dacă matricea sistemului $A$ este dreptunghiulară. În acest caz, este mai bine să aplicați a doua metodă, care va fi discutată mai jos. În plus, dacă $\Delta A=0$, atunci nu vom putea spune nimic despre numărul de soluții pentru un SLAE neomogen dat. Poate SLAE are un număr infinit de soluții, sau poate nici una. Dacă $\Delta A=0$, atunci este necesară cercetare suplimentară, care este adesea greoaie.
Rezumând cele spuse, observ că prima metodă este bună pentru acele SLAE-uri a căror matrice de sistem este pătrată. În același timp, SLAE în sine conține trei sau patru necunoscute și este luat din calcule standard standard sau lucrări de control.
Metoda numărul 2. Calculul rangului prin metoda transformărilor elementare.
Această metodă este descrisă în detaliu în subiectul corespunzător. Vom calcula rangul matricei $\widetilde(A)$. De ce matrice $\widetilde(A)$ și nu $A$? Ideea este că matricea $A$ este o parte a matricei $\widetilde(A)$, deci calculând rangul matricei $\widetilde(A)$ vom găsi simultan rangul matricei $A$ .
\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(swap primul și al doilea rând)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (matrice) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(aligned)
Am redus matricea $\widetilde(A)$ la o formă trapezoidală . Pe diagonala principală a matricei rezultate $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ conține trei elemente diferite de zero: -1, 3 și -7. Concluzie: rangul matricei $\widetilde(A)$ este 3, i.e. $\rank\widetilde(A)=3$. Făcând transformări cu elementele matricei $\widetilde(A)$, am transformat simultan elementele matricei $A$ situate înaintea liniei. Matricea $A$ este, de asemenea, trapezoidală: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right ) $. Concluzie: rangul matricei $A$ este de asemenea egal cu 3, i.e. $\rangul A=3$.
Deoarece $\rang A=\rang\widetilde(A)$, conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este consistent, i.e. are o solutie. Pentru a indica numărul de soluții, luăm în considerare că SLAE-ul nostru conține 3 necunoscute: $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Întrucât numărul de necunoscute este $n=3$, concluzionăm: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, prin urmare, conform corolarului teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este definit, i.e. are o soluție unică.
Care sunt avantajele celei de-a doua metode? Principalul avantaj este versatilitatea sa. Pentru noi nu contează dacă matricea sistemului este pătrată sau nu. În plus, am efectuat de fapt transformări ale metodei Gauss înainte. Au mai rămas doar câțiva pași și am putea obține soluția acestui SLAE. Sincer să fiu, a doua cale îmi place mai mult decât prima, dar alegerea este o chestiune de gust.
Răspuns: SLAE dat este consecvent și definit.
Exemplul #2
Explorați SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ pentru consecvență.
Vom găsi rangurile matricei sistemului și matricei extinse a sistemului prin metoda transformărilor elementare. Matrice de sistem extinsă: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Să găsim rangurile necesare transformând matricea augmentată a sistemului:
Matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă în trepte. Dacă matricea este redusă la o formă în trepte, atunci rangul său este egal cu numărul de rânduri diferite de zero. Prin urmare, $\rank A=3$. Matricea $A$ (până la linie) se reduce la o formă trapezoidală și rangul ei este egal cu 2, $\rang A=2$.
Deoarece $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci, conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este inconsecvent (adică nu are soluții).
Răspuns: Sistemul este inconsecvent.
Exemplul #3
Explorați SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ pentru compatibilitate.
Matricea extinsă a sistemului este: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(matrice)\right)$. Schimbați primul și al doilea rând din această matrice, astfel încât primul element al primului rând să fie unul: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.
Am redus matricea extinsă a sistemului și matricea sistemului însuși la o formă trapezoidală. Rangul matricei extinse a sistemului este egal cu trei, rangul matricei sistemului este, de asemenea, egal cu trei. Deoarece sistemul conține $n=5$ necunoscute, i.e. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.
Răspuns: sistemul este nedeterminat.
În a doua parte, vom analiza exemple care sunt adesea incluse în calculele tipice sau hârtii de test la matematică superioară: un studiu privind compatibilitatea și soluția SLAE în funcție de valorile parametrilor incluși în acesta.
Atribuirea serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a studia un sistem de ecuații liniare. De obicei, în starea problemei, este necesar să se găsească soluția generală și particulară a sistemului. La studierea sistemelor de ecuații liniare se rezolvă următoarele probleme:- dacă sistemul este colaborativ;
- dacă sistemul este consistent, atunci este definit sau nedefinit (criteriul compatibilității sistemului este determinat de teoremă);
- dacă sistemul este definit, atunci cum să-i găsiți soluția unică (se folosesc metoda Cramer, metoda matricei inverse sau metoda Jordan-Gauss);
- dacă sistemul este nedefinit, atunci cum se descrie setul soluțiilor sale.
Clasificarea sistemelor de ecuații liniare
Un sistem arbitrar de ecuații liniare are forma:a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m
- Sisteme de ecuații liniare neomogene (numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații, m = n).
- Sisteme arbitrare de ecuații liniare neomogene (m > n sau m< n).
Definiție. Se spune că două sisteme sunt echivalente dacă soluția primului este soluția celui de-al doilea și invers.
Definiție. Un sistem care are cel puțin o soluție este numit comun. Un sistem care nu are nicio soluție se numește inconsistent.
Definiție. Se numește un sistem cu o soluție unică anumit, iar a avea mai multe soluții este nedefinit.
Algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
- Găsiți rangurile matricelor principale și extinse. Dacă nu sunt egale, atunci, după teorema Kronecker-Capelli, sistemul este inconsecvent și aici se termină studiul.
- Fie rang(A) = rang(B) . Selectăm minorul de bază. În acest caz, toate sistemele necunoscute de ecuații liniare sunt împărțite în două clase. Necunoscutele, ai căror coeficienți sunt incluși în minorul de bază, se numesc dependente, iar necunoscutele, ai căror coeficienți nu sunt incluși în minorul de bază, se numesc libere. Rețineți că alegerea necunoscutelor dependente și libere nu este întotdeauna unică.
- Tăiem acele ecuații ale sistemului ai căror coeficienți nu au fost incluși în minorul de bază, deoarece sunt consecințe ale restului (conform teoremei minorului de bază).
- Termenii ecuațiilor care conțin necunoscute libere vor fi transferați în partea dreaptă. Ca urmare, obținem un sistem de r ecuații cu r necunoscute, echivalent cu cel dat, al cărui determinant este diferit de zero.
- Sistemul rezultat este rezolvat în una din următoarele moduri: metoda Cramer, metoda matricei inverse sau metoda Jordan-Gauss. Se găsesc relaţii care exprimă variabilele dependente în termenii celor libere.
Continuăm să ne ocupăm de sisteme de ecuații liniare. Până acum, am luat în considerare sisteme care au o soluție unică. Astfel de sisteme pot fi rezolvate în orice mod: metoda de substitutie("şcoală") prin formulele lui Cramer, metoda matricei, metoda Gauss. Cu toate acestea, încă două cazuri sunt larg răspândite în practică atunci când:
1) sistemul este inconsecvent (nu are soluții);
2) sistemul are infinite de soluții.
Pentru aceste sisteme, se utilizează cea mai universală dintre toate metodele de soluție - metoda Gauss. De fapt, metoda „școală” va duce și ea la răspuns, dar în matematica superioară se obișnuiește să se folosească metoda gaussiană a eliminării succesive a necunoscutelor. Cei care nu sunt familiarizați cu algoritmul metodei Gauss, vă rugăm să studiați mai întâi lecția metoda Gauss
Transformările matricei elementare în sine sunt exact aceleași, diferența va fi în finalul soluției. Mai întâi, luați în considerare câteva exemple în care sistemul nu are soluții (incoerente).
Exemplul 1
Ce vă atrage imediat atenția în acest sistem? Numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Există o teoremă care spune: „Dacă numărul de ecuații din sistem este mai mic decât numărul de variabile, atunci sistemul fie este inconsecvent, fie are infinite de soluții.Și rămâne doar de aflat.
Începutul soluției este destul de obișnuit - scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă treptat:
(1). Pe pasul din stânga sus, trebuie să obținem (+1) sau (-1). Nu există astfel de numere în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va funcționa. Unitatea va trebui organizată independent, iar acest lucru se poate face în mai multe moduri. Așa am făcut. La prima linie adăugăm a treia linie, înmulțită cu (-1).
(2). Acum obținem două zerouri în prima coloană. La a doua linie, adăugați prima linie, înmulțită cu 3. La a treia linie, adăugați prima, înmulțită cu 5.
(3). După ce transformarea este făcută, este întotdeauna recomandabil să vedeți dacă este posibil să simplificați șirurile rezultate? Poate sa. Împărțim a doua linie la 2, obținând în același timp și cea dorită (-1) pe a doua treaptă. Împărțiți a treia linie la (-3).
(4). Adăugați a doua linie la a treia linie. Probabil, toată lumea a acordat atenție liniei proaste, care s-a dovedit ca urmare a transformărilor elementare:
. Este clar că nu poate fi așa.
Într-adevăr, rescriem matricea rezultată
înapoi la sistemul de ecuații liniare:
Dacă în urma transformărilor elementare un șir de formă , Undeλ este un număr diferit de zero, atunci sistemul este inconsecvent (nu are soluții).
Cum să înregistrezi sfârșitul unei sarcini? Trebuie să scrieți fraza:
„În urma transformărilor elementare se obține un șir de formă, unde λ ≠ 0 ". Răspuns: „Sistemul nu are soluții (incoerente).”
Vă rugăm să rețineți că în acest caz nu există o mișcare inversă a algoritmului gaussian, nu există soluții și pur și simplu nu există nimic de găsit.
Exemplul 2
Rezolvați un sistem de ecuații liniare
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Din nou, vă reamintim că procesul dvs. de soluție poate diferi de procesul nostru de soluție, metoda Gauss nu stabilește un algoritm clar, trebuie să ghiciți singur procedura și acțiunile în fiecare caz.
Încă unul caracteristica tehnica soluții: transformările elementare pot fi oprite O dată, de îndată ce o linie ca , unde λ ≠ 0 . Luați în considerare un exemplu condiționat: să presupunem că după prima transformare obținem o matrice
.
Această matrice nu a fost încă redusă la o formă în trepte, dar nu este nevoie de alte transformări elementare, deoarece a apărut o linie a formei, unde λ ≠ 0 . Ar trebui să se răspundă imediat că sistemul este incompatibil.
Când un sistem de ecuații liniare nu are soluții, acesta este aproape un cadou pentru elev, deoarece se obține o soluție scurtă, uneori literalmente în 2-3 pași. Dar totul în această lume este echilibrat, iar problema în care sistemul are infinit de soluții este doar mai lungă.
Exemplul 3:
Rezolvați un sistem de ecuații liniare
Există 4 ecuații și 4 necunoscute, deci sistemul poate fie să aibă o singură soluție, fie să nu aibă soluții, fie să aibă infinite de soluții. Oricare ar fi fost, dar metoda Gauss, în orice caz, ne va conduce la răspuns. Aceasta este versatilitatea sa.
Începutul este din nou standard. Scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem la o formă de pas:
Asta e tot și ți-a fost frică.
(1). Vă rugăm să rețineți că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2, așa că pe treapta din stânga sus ne mulțumim și cu un doi. La a doua linie adăugăm prima linie, înmulțită cu (-4). La a treia linie adăugăm prima linie, înmulțită cu (-2). La a patra linie adăugăm prima linie, înmulțită cu (-1).
Atenţie! Mulți pot fi tentați din a patra linie scădea prima linie. Acest lucru se poate face, dar nu este necesar, experiența arată că probabilitatea unei erori în calcule crește de mai multe ori. Adăugăm doar: la a patra linie adăugăm prima linie, înmulțită cu (-1) - exact!
(2). Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele pot fi șterse. Aici din nou este necesar să se arate atenție sporită, dar liniile sunt într-adevăr proporționale? Pentru reasigurare, nu va fi de prisos să înmulțiți al doilea rând cu (-1) și să împărțiți al patrulea rând cu 2, rezultând trei rânduri identice. Și numai după aceea eliminați două dintre ele. Ca rezultat al transformărilor elementare, matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă în trepte:
Când finalizați o sarcină într-un caiet, este recomandabil să faceți aceleași note în creion pentru claritate.
Rescriem sistemul de ecuații corespunzător:
Singura soluție „obișnuită” a sistemului nu miroase aici. Linie proastă unde λ ≠ 0, de asemenea nu. Prin urmare, acesta este al treilea caz rămas - sistemul are infinite de soluții.
Setul infinit de soluții ale sistemului este scris pe scurt sub forma așa-numitului soluție generală de sistem.
Vom găsi soluția generală a sistemului folosind mișcarea inversă a metodei Gauss. Pentru sistemele de ecuații cu un set infinit de soluții apar concepte noi: „variabile de bază”Și "variabile libere". Mai întâi, să definim ce variabile avem de bazăși ce variabile - gratuit. Nu este necesar să explicăm în detaliu termenii algebrei liniare, este suficient să ne amintim că există astfel variabile de bazăȘi variabile libere.
Variabilele de bază „stau” întotdeauna strict pe treptele matricei. În acest exemplu, variabilele de bază sunt X 1 și X 3 .
Variabilele gratuite sunt totul rămas variabile care nu au primit un pas. În cazul nostru, sunt două: X 2 și X 4 - variabile libere.
Acum ai nevoie Toatevariabile de bază expres numai prinvariabile libere. Mișcarea inversă a algoritmului gaussian funcționează în mod tradițional de jos în sus. Din a doua ecuație a sistemului, exprimăm variabila de bază X 3:
Acum uitați-vă la prima ecuație: . Mai întâi, înlocuim expresia găsită în ea:
Rămâne de exprimat variabila de bază X 1 prin variabile libere X 2 și X 4:
Rezultatul este ceea ce aveți nevoie - Toate variabile de bază ( X 1 și X 3) exprimat numai prin variabile libere ( X 2 și X 4):
De fapt, soluția generală este gata:
.
Cum să notez soluția generală? În primul rând, variabilele libere sunt scrise în soluția generală „pe cont propriu” și strict la locul lor. În acest caz, variabilele libere X 2 și X 4 trebuie scris în pozițiile a doua și a patra:
.
Expresiile rezultate pentru variabilele de bază și, evident, trebuie scris în prima și a treia poziție:
Din soluția generală a sistemului, se pot găsi infinitate decizii private. E foarte simplu. variabile libere X 2 și X 4 sunt numite astfel pentru că pot fi date orice valori finale. Cele mai populare valori sunt valorile zero, deoarece aceasta este cea mai simplă modalitate de a obține o anumită soluție.
Înlocuind ( X 2 = 0; X 4 = 0) în soluția generală, obținem una dintre soluțiile particulare:
, sau este o soluție particulară corespunzătoare variabilelor libere cu valori ( X 2 = 0; X 4 = 0).
Cei sunt un alt cuplu dulce, să înlocuim ( X 2 = 1 și X 4 = 1) în soluția generală:
, adică (-1; 1; 1; 1) este o altă soluție particulară.
Este ușor de observat că sistemul de ecuații are infinit de solutiiîntrucât putem da variabile libere orice valorile.
Fiecare o anumită soluție trebuie să satisfacă Pentru fiecare ecuația sistemului. Aceasta este baza pentru o verificare „rapidă” a corectitudinii soluției. Luați, de exemplu, o anumită soluție (-1; 1; 1; 1) și înlocuiți-o în partea stanga fiecare ecuație a sistemului original:
Totul trebuie să vină împreună. Și cu orice soluție specială pe care o obțineți, totul ar trebui să convergă.
Strict vorbind, verificarea unei anumite soluții înșală uneori, i.e. o anumită soluție poate satisface fiecare ecuație a sistemului, iar soluția generală în sine este de fapt găsită incorect. Prin urmare, în primul rând, verificarea soluției generale este mai amănunțită și mai fiabilă.
Cum se verifică soluția generală rezultată ?
Nu este dificil, dar necesită o transformare destul de lungă. Trebuie să luăm expresii de bază variabile, în acest caz și , și înlocuiți-le în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului.
În partea stângă a primei ecuații a sistemului:
Primit partea dreaptă prima ecuație originală a sistemului.
În partea stângă a celei de-a doua ecuații a sistemului:
Se obține partea dreaptă a celei de-a doua ecuații originale a sistemului.
Și mai departe - în partea stângă a celei de-a treia și a patra ecuații ale sistemului. Această verificare este mai lungă, dar garantează corectitudinea 100% a soluției globale. În plus, în unele sarcini este necesară verificarea soluției generale.
Exemplul 4:
Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss. Găsiți o soluție generală și două private. Verificați soluția generală.
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Aici, apropo, din nou numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute, ceea ce înseamnă că este imediat clar că sistemul va fi fie inconsecvent, fie cu un număr infinit de soluții.
Exemplul 5:
Rezolvați un sistem de ecuații liniare. Dacă sistemul are infinit de soluții, găsiți două soluții particulare și verificați soluția generală
Soluţie: Să notăm matricea extinsă a sistemului și, cu ajutorul transformărilor elementare, să o aducem într-o formă în trepte:
(1). Adăugați prima linie la a doua linie. La a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu 2. La a patra linie adăugăm prima linie înmulțită cu 3.
(2). La a treia linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu (-5). La a patra linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu (-7).
(3). Al treilea și al patrulea rând sunt aceleași, ștergem unul dintre ele. Iată o asemenea frumusețe:
Variabilele de bază se află pe trepte, deci sunt variabile de bază.
Există o singură variabilă liberă, care nu a primit un pas: .
(4). Mișcare inversă. Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabilă liberă:
Din a treia ecuație:
Luați în considerare a doua ecuație și înlocuiți în ea expresia găsită:
,
, ,
Luați în considerare prima ecuație și înlocuiți expresiile găsite și în ea:
Astfel, soluția generală cu o variabilă liberă X 4:
Încă o dată, cum s-a întâmplat? variabilă liberă X 4 stă singur pe locul al patrulea de drept. Expresiile rezultate pentru variabilele de bază , , sunt de asemenea la locul lor.
Să verificăm imediat soluția generală.
Inlocuim variabilele de baza , , in partea stanga a fiecarei ecuatii a sistemului:
Se obțin părțile din dreapta corespunzătoare ale ecuațiilor, astfel se găsește soluția generală corectă.
Acum din soluția generală găsită obținem două soluții particulare. Toate variabilele sunt exprimate aici printr-o singură variabila liberă x 4 . Nu trebuie să-ți rupi capul.
Lăsa X 4 = 0, atunci este prima soluție particulară.
Lăsa X 4 = 1, atunci este o altă soluție specială.
Răspuns: Decizie comună: . Soluții private:
Și .
Exemplul 6:
Aflați soluția generală a sistemului de ecuații liniare.
Am verificat deja soluția generală, răspunsul poate fi de încredere. Cursul dumneavoastră de acțiune poate diferi de cursul nostru de acțiune. Principalul lucru este că soluțiile generale coincid. Probabil, mulți au observat un moment neplăcut în soluții: de foarte multe ori, în cursul invers al metodei Gauss, a trebuit să ne luptăm cu fracțiile obișnuite. În practică, acest lucru este adevărat, cazurile în care nu există fracții sunt mult mai puțin frecvente. Fii pregătit mental și, cel mai important, tehnic.
Să ne oprim asupra caracteristicilor soluției care nu au fost găsite în exemplele rezolvate. Soluția generală a sistemului poate include uneori o constantă (sau constante).
De exemplu, soluția generală: . Aici una dintre variabilele de bază este egală cu un număr constant: . Nu este nimic exotic în asta, se întâmplă. Evident, în acest caz, orice soluție anume va conține un cinci în prima poziție.
Rareori, dar există sisteme în care numărul de ecuații este mai mare decât numărul de variabile. Cu toate acestea, metoda Gauss funcționează în cele mai severe condiții. Ar trebui să aduceți calm matricea extinsă a sistemului într-o formă în trepte conform algoritmului standard. Un astfel de sistem poate fi inconsecvent, poate avea infinit de soluții și, în mod ciudat, poate avea o soluție unică.
Repetăm în sfatul nostru - pentru a vă simți confortabil atunci când rezolvați un sistem folosind metoda Gauss, ar trebui să vă umpleți mâna și să rezolvați cel puțin o duzină de sisteme.
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 2:
Soluţie:Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte.
Transformări elementare efectuate:
(1) Prima și a treia linie au fost schimbate.
(2) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu (-6). Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu (-7).
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu (-1).
Ca rezultat al transformărilor elementare, un șir de formă, Unde λ ≠ 0 .Deci sistemul este inconsecvent.Răspuns: nu exista solutii.
Exemplul 4:
Soluţie:Scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem la o formă de pas:
Conversii efectuate:
(1). Prima linie înmulțită cu 2 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 3 a fost adăugată la a treia linie.
Nu există nicio unitate pentru a doua etapă , iar transformarea (2) are ca scop obținerea acesteia.
(2). A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -3.
(3). Al doilea și al treilea rând au fost schimbate (-1 rezultat a fost mutat la a doua etapă)
(4). A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 3.
(5). Semnul primelor două linii a fost schimbat (înmulțit cu -1), a treia linie a fost împărțită la 14.
Mișcare inversă:
(1). Aici sunt variabilele de bază (care sunt pe trepte) și sunt variabile libere (care nu au primit pasul).
(2). Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabile libere:
Din a treia ecuație: .
(3). Luați în considerare a doua ecuație:, soluții speciale:
Răspuns: Decizie comună:
Numere complexe
În această secțiune, vom introduce conceptul număr complex, considera algebric, trigonometricȘi forma indicativa număr complex. De asemenea, vom învăța cum să efectuăm operații cu numere complexe: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor.
Pentru dezvoltare numere complexe nu sunt necesare cunoștințe speciale de la curs matematica superioara, iar materialul este accesibil chiar și unui școlar. Suficient pentru a putea actiuni algebrice cu numere „obișnuite” și amintiți-vă trigonometria.
În primul rând, să ne amintim de numerele „obișnuite”. În matematică se numesc set de numere realeși sunt marcate cu litera R, sau R (gros). Toate numerele reale se află pe linia numerică familiară:
Compania numerelor reale este foarte colorată - aici sunt numere întregi și fracții și numere irationale. În acest caz, fiecare punct al axei numerice corespunde în mod necesar unui număr real.
Secțiunea 5. ELEMENTE DE ALGEBRE LINEARĂ
Sisteme de ecuații liniare
Noțiuni de bază
Un sistem de ecuații algebrice liniare, conținând T ecuații și P necunoscute, se numește sistem de formă
unde sunt numerele A ij ,
i=,
j=
numit coeficienți sisteme, numere b i - membri gratuiti. Numar de gasit X P .
Este convenabil să scrieți un astfel de sistem într-un format compact formă matriceală .
Aici A este matricea de coeficienți a sistemului, numită matricea principală:
,
-vector coloană de necunoscute X j ,
este un vector coloană de membri liberi b i .
Extins matricea sistemului este matricea sistem, completat de o coloană de termeni liberi
.
Decizie sistem este numit P valori necunoscute X 1
= cu 1
, X 2
= cu 2
, ..., X P = cu P ,
la înlocuirea cărora toate ecuațiile sistemului se transformă în egalități adevărate. Orice soluție a sistemului poate fi scrisă ca o coloană-matrice .
Sistemul de ecuații se numește comun dacă are cel puțin o soluție și incompatibil daca nu are solutie.
Sistemul articular este numit anumit dacă are o soluție unică și incert daca are mai multe solutii. În acest din urmă caz, fiecare dintre soluțiile sale este numită decizie privată sisteme. Se numește setul tuturor soluțiilor particulare solutie generala.
Rezolvați sistemulînseamnă a afla dacă este compatibil sau nu. Dacă sistemul este consistent, atunci găsiți soluția generală.
Cele două sisteme sunt numite echivalent(echivalent) dacă au aceeași soluție generală. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție pentru una dintre ele este o soluție pentru cealaltă și invers.
Se obţin sisteme echivalente, în special, când transformări elementare sistem, cu condiția ca transformările să fie efectuate numai pe rândurile matricei.
Sistemul de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero:
Un sistem omogen este întotdeauna consistent, deoarece X 1 =x 2 =…=x P =0 este soluția pentru sistem. Această soluție se numește zero sau banal.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
Să fie dat un sistem arbitrar T ecuații liniare cu P necunoscut
Teorema 1(Kronecker-Cappelli). Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei extinse este egal cu rangul matricei principale.
Teorema 2. Dacă rang sistem articular este egal cu numărul de necunoscute, atunci sistemul are o soluție unică.
Teorema 3. Dacă rangul unui sistem consistent este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de soluții.
EXEMPLU Examinați sistemul pentru compatibilitate
Soluţie. ,r(A)=1;
,
r(
)=2,
.
Prin urmare, r(A) r(), prin urmare sistemul este inconsecvent.
Rezolvarea sistemelor nedegenerate de ecuații liniare. formulele lui Cramer
Lasă sistemul P ecuații liniare cu P necunoscut
sau sub formă matriceală A∙X=B.
Matricea principală A a unui astfel de sistem este pătrată. Determinantul acestei matrice se numește determinant de sistem. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul este numit nedegenerat.
Să găsim soluția acestui sistem de ecuații în cazul lui ∆0. înmulțind ambele părți ale ecuației А∙Х=В din stânga cu matricea А 1 , obținem А 1 ∙ A∙Х= A 1 ∙B. Deoarece A - 1 ∙ A \u003d E și E ∙ X \u003d X, atunci X \u003d A - 1 ∙ B. Această metodă de rezolvare a sistemului se numește matrice.
Din metoda matricei urmează formulele lui Cramer
, unde ∆ este determinantul matricei principale a sistemului, iar ∆ i este determinantul obţinut din determinantul ∆ prin înlocuire i a-a coloană de coeficienți printr-o coloană de membri liberi.
EXEMPLU Rezolvați sistemul
Soluţie. , 70,
,
. Mijloace, X 1
=
, X 2
=
.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss
Metoda Gauss constă în eliminarea succesivă a necunoscutelor.
Fie sistemul de ecuații
Procesul de soluție Gaussian constă din două etape. În prima etapă (margere înainte), sistemul este redus la călcat(în special, triunghiular) minte.
Unde k≤ n, a ii
0, i=
.
Cote A ii numit principal elemente ale sistemului.
La a doua etapă (mișcare inversă), necunoscutele din acest sistem treptat sunt determinate secvenţial.
Note:
Dacă sistemul de trepte se dovedește a fi triunghiular, de ex. k= n, atunci sistemul original are o soluție unică. Din ultima ecuație găsim X P , din penultima ecuație pe care o găsim X P 1 , apoi, urcând sistemul, găsim toate celelalte necunoscute.
În practică, este mai convenabil să lucrați cu matricea extinsă a sistemului, efectuând toate transformările elementare pe rândurile sale. Este convenabil ca coeficientul A 11 a fost egal cu 1 (rearanjați ecuațiile sau împărțiți cu A 11 1).
EXEMPLU Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss
Soluţie. Ca rezultat al transformărilor elementare asupra matricei extinse a sistemului
~
~
~
~
sistemul original a fost redus la unul treptat:
Prin urmare, soluția generală a sistemului este: X 2 =5 X 4 13 X 3 3; X 1 =5 X 4 8 X 3 1.
Dacă punem, de exemplu, X 3 =x 4 =0, atunci găsim una dintre soluțiile particulare ale acestui sistem X 1 = 1, x 2 = 3, x 3 =0, x 4 =0.
Sisteme de ecuații liniare omogene
Să fie dat sistemul de ecuații liniare omogene
Evident, un sistem omogen este întotdeauna compatibil, are o soluție zero (trivială).
Teorema 4. Pentru ca un sistem de ecuații omogene să aibă o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca rangul matricei sale principale să fie mai mic decât numărul de necunoscute, i.e. r< n.
Teorema 5. Pentru un sistem omogen P ecuații liniare cu P necunoscute are o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca determinantul matricei sale principale să fie egal cu zero, i.e. ∆=0.
Dacă sistemul are soluții diferite de zero, atunci ∆=0.
EXEMPLU Rezolvați sistemul
Soluţie. ,r(A)=2
,
n=3. Deoarece r<
n,
atunci sistemul are un număr infinit de soluții.
,
. Acesta este, X 1
=
=2x 3
, X 2
=
=3x 3
- decizie comună.
Punând X 3 =0, obținem o soluție specială: X 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Punând X 3 =1, obținem a doua soluție particulară: X 1 =2, x 2 =3, x 3 =1 etc.
Întrebări de controlat
Ce este un sistem de ecuații algebrice liniare?
Explicați următoarele concepte: coeficient, interceptare, matrici principale și extinse.
Ce sunt sistemele de ecuații liniare? Formulați teorema Kronker-Capelli (cu privire la compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare).
Enumerați și explicați metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.