TEXTUL LECȚIEI:
Astăzi vom obține formula pentru volumul unei prisme înclinate folosind o integrală.
Să ne amintim ce este o prismă și ce fel de prismă se numește oblică?
PRISM este un poliedru, dintre care două fețe (bazele) sunt poligoane egale situate în plane paralele, iar celelalte fețe (laturile) sunt paralelograme.
Dacă marginile laterale ale prismei sunt perpendiculare pe planul bazei, atunci prisma este dreaptă, în caz contrar prisma se numește înclinată.
Volumul unei prisme înclinate este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
1) Luați în considerare prisma triunghiulară înclinată VSEV2S2E2. Volumul acestei prisme este V, aria bazei este S și înălțimea este h.
Să folosim formula: volumul este egal cu integrala de la 0 la h S a lui x de x.
V= , unde este aria secțiunii perpendiculară pe axa Ox. Să alegem axa Ox, iar punctul O este originea coordonatelor și se află în planul ALL (baza inferioară a prismei înclinate). Direcția axei Ox este perpendiculară pe planul ALL. Apoi axa Ox va intersecta planul în punctul h și vom desena planul E1 paralel cu bazele prismei înclinate și perpendicular pe axa Ox. Deoarece planele sunt paralele și fețele laterale sunt paralelograme, atunci BE = , CE = C1E1 = C2E2; ВС=В1С1=В2С2
De unde rezultă că triunghiurile ALL = E2 sunt egale pe trei laturi. Dacă triunghiurile sunt congruente, atunci aria lor este egală. Aria unei secțiuni arbitrare S(x) este egală cu aria bazei Sbas.
În acest caz, aria de bază este constantă. Să luăm 0 și h ca limite de integrare. Obținem formula: volumul este egal cu integrala de la 0 la h S din x de x sau integrala de la 0 la h a aria bazei din x de x, aria bazei este o constantă (valoare constantă), putem scoateți-l din semnul integralei și rezultă că integrala de la 0 la h de x este egală cu cenușă minus 0:
Se pare că volumul unei prisme înclinate este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
2) Să demonstrăm această formulă pentru o prismă înclinată n-gonală arbitrară. Pentru a demonstra acest lucru, să luăm o prismă pentagonală înclinată. Să împărțim prisma înclinată în mai multe prisme triunghiulare, în acest caz în trei (la fel ca la demonstrarea teoremei asupra volumului unei prisme drepte). Să notăm volumul prismei înclinate ca V. Atunci volumul prismei înclinate va consta din suma volumelor a trei prisme triunghiulare (după proprietatea volumelor).
V=V1+V2+V3 și volumul prisma triunghiulara Căutăm formula: volumul unei prisme înclinate este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
Aceasta înseamnă că volumul prismei înclinate este egal cu suma produse dintre suprafețele bazei și înălțimea, scoatem înălțimea h din paranteze (deoarece este același lucru pentru cele trei prisme) și obținem:
Teorema a fost demonstrată.
Muchia laterală a prismei înclinate este de 4 cm și face un unghi de 30° cu planul bazei. Laturile triunghiului care se află la bază sunt de 12, 12 și 14 cm. Aflați volumul prismei înclinate .
Având în vedere: - prismă înclinată,
AB = 12 cm, BC = 12 cm, AC = 14 cm, B = 4 cm, BK = 30°.
Găsiți: V - ?
Construcție suplimentară: Să desenăm înălțimea H într-o prismă înclinată.
Știm că volumul unei prisme înclinate este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
La baza unei prisme înclinate se află un triunghi arbitrar, ale cărui laturi sunt cunoscute, ceea ce înseamnă că aplicăm formula lui Heron: aria triunghiului este rădăcină pătrată din produsul PE prin diferența lui PE și a, prin diferența PE și BE, prin diferența PE și CE, unde PE este semiperimetrul triunghiului, pe care îl căutăm folosind formula: jumătate din suma tuturor laturilor a, b si c:
Calculăm semiperimetrul:
Să înlocuim valoarea semiperimetrului în formula ariei de bază, să simplificăm și să obținem răspunsul: șapte rădăcini ale lui 95.
Se consideră ΔB H. Este dreptunghiulară, deoarece H este înălțimea prismei înclinate. Din definiția sinusului, catetul este egal cu produsul ipotenuzei și sinusul unghiului opus
valoarea sinusului de 30° este egală cu o jumătate, ceea ce înseamnă
Am învățat asta
Și înălțimea H - înălțimea prismei înclinate - este egală cu 2.
Prin urmare, volumul este egal
„Prisma corpului geometric”- Paralepiped dreptunghiular. Dreptunghi. Secțiuni diagonale. Teorema lui Pitagora. Suma zonelor. Vârfurile. Baza prismei. Cum se numește prisma prezentată în figură? Bătălie matematică. Soluţie. Prismă. Care prismă se numește prismă dreaptă? Cunoștințe primite. Diagonala unei prisme triunghiulare regulate.
"Figura cu prismă"- Definiția prism. Prismă oblică și dreaptă. Să demonstrăm mai întâi teorema pentru o prismă triunghiulară. Tipuri de prisme. Volumul unei prisme înclinate. Prismă. Suprafața laterală a prismei. Suprafața totală a prismei. Să demonstrăm acum teorema pentru o prismă arbitrară. Prisma corectă.
"Volum prismei"- Zona S a bazei prismei originale. Rezolvarea problemei. Obiectivele lecției. Volumul prismei originale este egal cu produsul S · h. Volumul unei prisme drepte. Prisma poate fi împărțită în prisme triunghiulare drepte cu înălțimea h. Conceptul de prismă. Desenarea altitudinii triunghiului ABC. Întrebări. Studiul teoremei despre volumul unei prisme. Pași de bază în demonstrarea teoremei prismei directe?
„Conceptul unei prisme”- Suprafața totală a prismei. Prismă dreaptă. Suprafața laterală a prismei. Poligon. Secțiuni cu prisme. Prisma corectă. Prisme întâlnite în viață. Prisme triunghiulare. Dovada. Volumul unei prisme înclinate. Definiţia prism. Prismă oblică și dreaptă. Tipuri de prisme. Prismă.
„Proprietățile prismei”- Există prisme înclinate în care să poată fi înscrisă o sferă? Proprietățile unei prisme. Condiție formulată pentru o prismă dreaptă. Cilindru. Prismă. Secțiunea unui cilindru. Formula trei cosinus. Baza. Prisma triunghiulara. Teorema sinusurilor pentru unghiurile triedrice. Marginea unei prisme triunghiulare. În jurul căror tipuri de prisme se poate descrie întotdeauna o sferă?
„Conceptul de poliedru prismă”- Se formează un paralelogram în secțiune transversală. Consecinţă. Proprietățile unei prisme. Termenul „prismă” este de origine greacă și înseamnă literal „fierăstrău” (corp). Suprafața prismei și suprafața laterală a prismei. Această secțiune se numește secțiunea diagonală a prismei. Având în vedere: Latura de bază a unei prisme triunghiulare obișnuite este de 8 cm, marginea laterală este de 6 cm.
„Volumul corpurilor” - Ф(x). Ф(х1). Volumul unei prisme înclinate, al unei piramide și al unui con. F(xi). F(x2). a x b x. Când a = x și b = x, un punct poate degenera într-o secțiune, de exemplu, când x = a.
„Volumul conceptului” - 1. Suprafața totală a cubului este de 6 m2. Sau volumul unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. Volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. În timpul lecției, se desfășoară activități de testare diferențiată folosind teste. Volumele corpurilor geometrice.
„Volume” - Exercițiul 7. Exercițiul 8*. Nervurile laterale sunt egale cu 3 și formează un unghi de 45° cu planul bazei. Volumul unei prisme înclinate este 3. Fața paralelipipedului este un romb cu latura 1 și un unghi ascuțit de 60°. Volumul unei prisme înclinate 1. Răspuns: Un plan care trece prin centrele de simetrie ale paralelipipedelor. Principiul Cavalieri.
„Volumele corpurilor” - Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul bazei și al înălțimii. Volumul piramidei. Volumul cilindrului. 2010 h. V=1/3S*h. Volume de corpuri similare. V=a*b*c. Volumul unei prisme drepte. Volumele corpurilor. Consecinţă. Volumul unei prisme înclinate. Volumul unei prisme înclinate este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. Volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
Volumul este o caracteristică a oricărei figuri care are dimensiuni diferite de zero în toate cele trei dimensiuni ale spațiului. În acest articol, din punctul de vedere al stereometriei (geometria figurilor spațiale), ne vom uita la o prismă și vom arăta cum să găsim volumele diferitelor tipuri de prisme.
Stereometria are un răspuns precis la această întrebare. În ea, o prismă este înțeleasă ca o figură formată din două fețe poligonale identice și mai multe paralelograme. Imaginea de mai jos prezintă patru prisme diferite.
Fiecare dintre ele poate fi obținut astfel: trebuie să luați un poligon (triunghi, patrulater etc.) și un segment de o anumită lungime. Apoi fiecare vârf al poligonului ar trebui să fie transferat folosind segmente paralele într-un alt plan. În noul plan, care va fi paralel cu cel inițial, se va obține un nou poligon, similar celui selectat inițial.
Prismele pot fi de diferite tipuri. Deci, pot fi drepte, înclinate și regulate. Dacă marginea laterală a prismei (segmentul care leagă vârfurile bazelor) este perpendiculară pe bazele figurii, atunci aceasta din urmă este dreaptă. În consecință, dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci vorbim despre o prismă înclinată. O figură obișnuită este o prismă dreaptă cu o bază echiunghiulară și echilaterală.
Volumul prismelor regulate
Să începem de la bun început caz simplu. Să dăm formula pentru volumul unei prisme regulate cu o bază n-gonală. Formula de volum V pentru orice figură a clasei luate în considerare are următoarea formă:
Adică, pentru a determina volumul, este suficient să calculați aria uneia dintre bazele S o și să o înmulțiți cu înălțimea h a figurii.
În cazul unei prisme regulate, notăm lungimea laturii bazei acesteia cu litera a, iar înălțimea, care este egală cu lungimea marginii laterale, cu litera h. Dacă baza este un n-gon obișnuit, atunci pentru a-și calcula aria, este mai ușor să utilizați următoarea formulă universală:
S n = n/4*a2*ctg(pi/n).
Prin înlocuirea numărului de laturi n și a lungimii unei laturi a în ecuație, puteți calcula aria bazei n-gonale. Rețineți că funcția cotangentă aici este calculată pentru unghiul pi/n, care este exprimat în radiani.
Ținând cont de egalitatea scrisă pentru S n, obținem formula finală pentru volumul unei prisme regulate:
V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Pentru fiecare caz specific, puteți nota formulele corespunzătoare pentru V, dar toate urmează fără ambiguitate din expresia generală scrisă. De exemplu, pentru o prismă patruunghiulară obișnuită, care în general este paralelipiped dreptunghiular, primim:
V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.
Dacă luăm h=a în această expresie, atunci obținem formula pentru volumul cubului.
Volumul prismelor drepte
Să remarcăm imediat că pentru cifrele drepte nu există o formulă generală pentru calcularea volumului, care a fost dată mai sus pentru prismele obișnuite. La găsirea valorii luate în considerare, trebuie utilizată expresia originală:
Aici h este lungimea marginii laterale, ca în cazul precedent. În ceea ce privește suprafața de bază S o , poate dura cel mai mult sensuri diferite. Problema calculării volumului unei prisme drepte se rezumă la găsirea ariei bazei acesteia.
Calculul valorii lui S o ar trebui efectuat pe baza caracteristicilor bazei în sine. De exemplu, dacă este un triunghi, atunci aria poate fi calculată astfel:
Aici h a este apotema triunghiului, adică înălțimea lui coborâtă la baza a.
Dacă baza este un patrulater, atunci poate fi un trapez, un paralelogram, un dreptunghi sau de un tip complet arbitrar. Pentru toate aceste cazuri, ar trebui să utilizați formula de planimetrie adecvată pentru a determina zona. De exemplu, pentru un trapez, această formulă arată astfel:
S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .
Unde h a este înălțimea trapezului, a 1 și a 2 sunt lungimile laturilor sale paralele.
Pentru a determina aria pentru poligoane de ordin superior, ar trebui să le împărțiți în figuri simple (triunghiuri, patrulatere) și să calculați suma ariilor acestora din urmă.
Volumul prismelor înclinate
Acesta este cel mai mult caz dificil calcularea volumului prismei. Formula generala Pentru astfel de cifre se aplică și:
Cu toate acestea, la dificultatea de a găsi aria bazei reprezentând un poligon de orice tip se adaugă problema determinării înălțimii figurii. Într-o prismă înclinată este întotdeauna mai mică decât lungimea marginii laterale.
Cel mai simplu mod de a găsi această înălțime este dacă se cunoaște orice unghi al figurii (plat sau diedru). Dacă este dat un astfel de unghi, atunci ar trebui să îl utilizați pentru a construi în interiorul prismei triunghi dreptunghic, care ar conține înălțimea h ca una dintre laturi și, folosind funcții trigonometriceși teorema lui Pitagora, găsiți valoarea lui h.
Problemă geometrică pentru determinarea volumului
Dana prismă corectă cu baza triunghiulara, avand inaltimea de 14 cm si lungimea laturii de 5 cm.Care este volumul unei prisme triunghiulare?
Din moment ce vorbim despre figura potrivită, atunci avem dreptul de a folosi formula binecunoscută. Avem:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.
O prismă triunghiulară este o figură destul de simetrică, în formă diferită structuri arhitecturale. Această prismă de sticlă este folosită în optică.