Când rezolvi multe probleme matematice, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, liniare și inegalități pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre problemele menționate este următorul: trebuie să stabiliți ce tip de problemă rezolvați, să vă amintiți succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.
Este evident că succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.
Situația este diferită cu ecuații trigonometrice. Nu este deloc greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea succesiunii de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.
De aspect ecuație, uneori este dificil de determinat tipul acesteia. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.
Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați:
1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „funcții identice”;
3. desfășurare partea stanga ecuații de factorizare etc.
Sa luam in considerare metode de rezolvare de bază ecuații trigonometrice.
I. Reducerea la cele mai simple ecuaţii trigonometrice
Diagrama soluției
Pasul 1. Exprimați o funcție trigonometrică în termeni de componente cunoscute.
Pasul 2. Găsiți argumentul funcției folosind formulele:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Pasul 3. Găsiți variabila necunoscută.
Exemplu.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Soluţie.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Înlocuire variabilă
Diagrama soluției
Pasul 1. Reduceți ecuația la formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.
Pasul 2. Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).
Pasul 3. Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.
Pasul 4. Faceți o înlocuire inversă.
Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.
Exemplu.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Soluţie.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 sau e = -3/2, nu satisface condiția |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor
Diagrama soluției
Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară, folosind formula de reducere a gradului:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.
Exemplu.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Soluţie.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ecuații omogene
Diagrama soluției
Pasul 1. Reduceți această ecuație la forma
a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)
sau la vedere
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).
Pasul 2.Împărțiți ambele părți ale ecuației la
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
și obțineți ecuația pentru tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Pasul 3. Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.
Exemplu.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Soluţie.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Fie tg x = t, atunci
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 sau t = -4, ceea ce înseamnă
tg x = 1 sau tg x = -4.
Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metoda de transformare a unei ecuații folosind formule trigonometrice
Diagrama soluției
Pasul 1. Folosind tot felul de formule trigonometrice, reduceți această ecuație la o ecuație rezolvată prin metodele I, II, III, IV.
Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.
Exemplu.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Soluţie.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;
Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.
Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Ca rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Răspuns: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Abilitatea și deprinderea de a rezolva ecuații trigonometrice este foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort semnificativ, atât din partea elevului, cât și din partea profesorului.
Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme întruchipează multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite prin studiul elementelor de trigonometrie.
Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de învățare a matematicii și în dezvoltarea personală în general.
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Necesită cunoașterea formulelor de bază ale trigonometriei - suma pătratelor sinusului și cosinusului, expresia tangentei prin sinus și cosinus și altele. Pentru cei care le-au uitat sau nu le cunosc, recomandăm citirea articolului „”.
Deci, cunoaștem formulele trigonometrice de bază, este timpul să le folosim în practică. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice la abordarea corectă- suficient activitate incitantă, cum ar fi, de exemplu, rezolvarea unui cub Rubik.
Pe baza numelui în sine, este clar că o ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul se află sub semnul funcției trigonometrice.
Există așa-numitele cele mai simple ecuații trigonometrice. Iată cum arată: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Sa luam in considerare cum se rezolvă astfel de ecuații trigonometrice, pentru claritate vom folosi cercul trigonometric deja familiar.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
pat x = a
Orice ecuație trigonometrică se rezolvă în două etape: reducem ecuația la cea mai simplă formă și apoi o rezolvăm ca o ecuație trigonometrică simplă.
Există 7 metode principale prin care se rezolvă ecuațiile trigonometrice.
Substituția variabilă și metoda substituției
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin factorizare
Reducerea la o ecuație omogenă
Rezolvarea ecuațiilor prin trecerea la jumătate de unghi
Introducerea unghiului auxiliar
Rezolvați ecuația 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Folosind formulele de reducere obținem:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Înlocuiește cos(x + /6) cu y pentru a simplifica și a obține obișnuit ecuație pătratică:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Ale căror rădăcini sunt y 1 = 1, y 2 = 1/2
Acum să mergem în ordine inversă
Înlocuim valorile găsite ale lui y și obținem două opțiuni de răspuns:
Cum se rezolvă ecuația sin x + cos x = 1?
Să mutăm totul la stânga, astfel încât 0 să rămână în dreapta:
sin x + cos x – 1 = 0
Să folosim identitățile discutate mai sus pentru a simplifica ecuația:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Să factorizăm:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Obținem două ecuații
O ecuație este omogenă față de sinus și cosinus dacă toți termenii ei sunt relativ la sinusul și cosinusul de același grad al aceluiași unghi. Pentru a rezolva o ecuație omogenă, procedați după cum urmează:
a) transferă toți membrii săi în partea stângă;
b) scoateți toți factorii comuni din paranteze;
c) egalează toți factorii și parantezele cu 0;
d) se obține între paranteze o ecuație omogenă de grad inferior, care la rândul ei se împarte într-un sinus sau cosinus de grad superior;
e) rezolvați ecuația rezultată pentru tg.
Rezolvați ecuația 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Să folosim formula sin 2 x + cos 2 x = 1 și să scăpăm de cele două deschise din dreapta:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Împărțire la cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Înlocuiți tan x cu y și obțineți o ecuație pătratică:
y 2 + 4y +3 = 0, ale căror rădăcini sunt y 1 =1, y 2 = 3
De aici găsim două soluții la ecuația inițială:
x 2 = arctan 3 + k
Rezolvați ecuația 3sin x – 5cos x = 7
Să trecem la x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Să mutăm totul la stânga:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Împărțire la cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Pentru a lua în considerare, să luăm o ecuație de forma: a sin x + b cos x = c,
unde a, b, c sunt niște coeficienți arbitrari, iar x este o necunoscută.
Să împărțim ambele părți ale ecuației la:
Acum coeficienții ecuației, conform formulelor trigonometrice, au proprietățile sin și cos și anume: modulul lor nu este mai mare de 1 și suma pătratelor = 1. Să-i notăm, respectiv, cos și sin, unde - aceasta este așa-numitul unghi auxiliar. Atunci ecuația va lua forma:
cos * sin x + sin * cos x = C
sau sin(x + ) = C
Soluția acestei cele mai simple ecuații trigonometrice este
x = (-1) k * arcsin C - + k, unde
Trebuie remarcat faptul că notațiile cos și sin sunt interschimbabile.
Rezolvați ecuația sin 3x – cos 3x = 1
Coeficienții din această ecuație sunt:
a = , b = -1, deci împărțiți ambele părți la = 2
Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele de care aveți nevoie finalizarea cu succes Examenul de stat unificat la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate problemele 1-13 Examinare de stat unificată de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza soluției sarcini complexe 2 părți ale examenului de stat unificat.
Când rezolvi multe probleme matematice, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre problemele menționate este următorul: trebuie să stabiliți ce tip de problemă rezolvați, să vă amintiți succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.
Este evident că succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.
Situația este diferită cu ecuații trigonometrice. Nu este deloc greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea succesiunii de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.
Este uneori dificil de determinat tipul său pe baza aspectului unei ecuații. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.
Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați:
1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „funcții identice”;
3. factorizează partea stângă a ecuației etc.
Sa luam in considerare metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.
I. Reducerea la cele mai simple ecuaţii trigonometrice
Diagrama soluției
Pasul 1. Exprimați o funcție trigonometrică în termeni de componente cunoscute.
Pasul 2. Găsiți argumentul funcției folosind formulele:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Pasul 3. Găsiți variabila necunoscută.
Exemplu.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Soluţie.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Înlocuire variabilă
Diagrama soluției
Pasul 1. Reduceți ecuația la formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.
Pasul 2. Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).
Pasul 3. Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.
Pasul 4. Faceți o înlocuire inversă.
Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.
Exemplu.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Soluţie.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 sau e = -3/2, nu satisface condiția |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor
Diagrama soluției
Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară, folosind formula de reducere a gradului:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.
Exemplu.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Soluţie.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ecuații omogene
Diagrama soluției
Pasul 1. Reduceți această ecuație la forma
a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)
sau la vedere
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).
Pasul 2.Împărțiți ambele părți ale ecuației la
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
și obțineți ecuația pentru tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Pasul 3. Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.
Exemplu.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Soluţie.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Fie tg x = t, atunci
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 sau t = -4, ceea ce înseamnă
tg x = 1 sau tg x = -4.
Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metoda de transformare a unei ecuații folosind formule trigonometrice
Diagrama soluției
Pasul 1. Folosind toate formulele trigonometrice posibile, reduceți această ecuație la o ecuație rezolvată prin metodele I, II, III, IV.
Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.
Exemplu.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Soluţie.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;
Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.
Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Ca rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Răspuns: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Abilitatea și deprinderea de a rezolva ecuații trigonometrice este foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort semnificativ, atât din partea elevului, cât și din partea profesorului.
Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme întruchipează multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite prin studiul elementelor de trigonometrie.
Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de învățare a matematicii și în dezvoltarea personală în general.
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Conceptul de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
- Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, convertiți-o într-una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea unei ecuații trigonometrice se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor patru ecuații trigonometrice de bază.
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază.
- Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
- sin x = a; cos x = a
- tan x = a; ctg x = a
- Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază implică examinarea diferitelor poziții x pe cercul unității, precum și utilizarea unui tabel de conversie (sau calculator).
- Exemplul 1. sin x = 0,866. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: 2π/3. Rețineți: toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor se repetă. De exemplu, periodicitatea lui sin x și cos x este 2πn, iar periodicitatea lui tg x și ctg x este πn. Prin urmare, răspunsul este scris după cum urmează:
- x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
- Exemplul 2. cos x = -1/2. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = 2π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: -2π/3.
- x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
- Exemplul 3. tg (x - π/4) = 0.
- Răspuns: x = π/4 + πn.
- Exemplul 4. ctg 2x = 1.732.
- Răspuns: x = π/12 + πn.
Transformări utilizate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.
- Pentru transformarea ecuațiilor trigonometrice se folosesc transformări algebrice (factorizare, reducere membri omogene etc.) și identități trigonometrice.
- Exemplul 5: Folosind identități trigonometrice, ecuația sin x + sin 2x + sin 3x = 0 este convertită în ecuația 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Astfel, următoarele ecuații trigonometrice de bază trebuie rezolvate: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
-
Găsirea unghiurilor prin valori cunoscute funcții.
- Înainte de a învăța cum să rezolvi ecuațiile trigonometrice, trebuie să înveți cum să găsești unghiuri folosind valorile funcțiilor cunoscute. Acest lucru se poate face folosind un tabel de conversie sau un calculator.
- Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va da răspunsul x = 42,95 grade. Cercul unitar va da unghiuri suplimentare, al căror cosinus este, de asemenea, 0,732.
-
Pune deoparte soluția pe cercul unității.
- Puteți reprezenta soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unității. Soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unitar sunt vârfurile unui poligon regulat.
- Exemplu: Soluțiile x = π/3 + πn/2 pe cercul unitar reprezintă vârfurile pătratului.
- Exemplu: Soluțiile x = π/4 + πn/3 de pe cercul unitar reprezintă vârfurile unui hexagon regulat.
-
Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
- Dacă o ecuație trigonometrică dată conține o singură funcție trigonometrică, rezolvați acea ecuație ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă o anumită ecuație include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode de rezolvare a unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării acesteia).
- Metoda 1.
- Transformați această ecuație într-o ecuație de forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, unde f(x), g(x), h(x) sunt ecuațiile trigonometrice de bază.
- Exemplul 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Soluţie. Folosind formula unghiului dublu sin 2x = 2*sin x*cos x, înlocuiți sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
- Exemplul 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Acum rezolvați cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
- Exemplul 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0 .
- Metoda 2.
- Convertiți ecuația trigonometrică dată într-o ecuație care conține o singură funcție trigonometrică. Apoi înlocuiți această funcție trigonometrică cu una necunoscută, de exemplu, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t etc.).
- Exemplul 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Soluţie. În această ecuație, înlocuiți (cos^2 x) cu (1 - sin^2 x) (în funcție de identitate). Ecuația transformată este:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Înlocuiți sin x cu t. Acum, ecuația arată astfel: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică care are două rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. A doua rădăcină t2 nu satisface domeniul de funcții (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Exemplul 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Soluţie. Înlocuiți tg x cu t. Rescrieți ecuația inițială după cum urmează: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Acum găsiți t și apoi găsiți x pentru t = tan x.
- Dacă o ecuație trigonometrică dată conține o singură funcție trigonometrică, rezolvați acea ecuație ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă o anumită ecuație include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode de rezolvare a unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării acesteia).