Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Conceptul de soluție ecuații trigonometrice.
- Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, convertiți-o într-una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea unei ecuații trigonometrice se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor patru ecuații trigonometrice de bază.
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază.
- Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
- sin x = a; cos x = a
- tan x = a; ctg x = a
- Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază implică examinarea diferitelor poziții x pe cercul unității, precum și utilizarea unui tabel de conversie (sau calculator).
- Exemplul 1. sin x = 0,866. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: 2π/3. Amintiți-vă: totul funcții trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor se repetă. De exemplu, periodicitatea lui sin x și cos x este 2πn, iar periodicitatea lui tg x și ctg x este πn. Prin urmare, răspunsul este scris după cum urmează:
- x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
- Exemplul 2. cos x = -1/2. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = 2π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: -2π/3.
- x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
- Exemplul 3. tg (x - π/4) = 0.
- Răspuns: x = π/4 + πn.
- Exemplul 4. ctg 2x = 1.732.
- Răspuns: x = π/12 + πn.
Transformări utilizate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.
- Pentru transformarea ecuațiilor trigonometrice se folosesc transformări algebrice (factorizare, reducere membri omogene etc.) și identități trigonometrice.
- Exemplul 5: Folosind identități trigonometrice, ecuația sin x + sin 2x + sin 3x = 0 este convertită în ecuația 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Astfel, următoarele ecuații trigonometrice de bază trebuie rezolvate: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
-
Găsirea unghiurilor prin valori cunoscute funcții.
- Înainte de a învăța cum să rezolvi ecuațiile trigonometrice, trebuie să înveți cum să găsești unghiuri folosind valorile funcțiilor cunoscute. Acest lucru se poate face folosind un tabel de conversie sau un calculator.
- Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va da răspunsul x = 42,95 grade. Cercul unitar va da unghiuri suplimentare, al căror cosinus este, de asemenea, 0,732.
-
Pune deoparte soluția pe cercul unității.
- Puteți reprezenta soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unității. Soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unitar sunt vârfurile unui poligon regulat.
- Exemplu: Soluțiile x = π/3 + πn/2 pe cercul unitar reprezintă vârfurile pătratului.
- Exemplu: Soluțiile x = π/4 + πn/3 de pe cercul unitar reprezintă vârfurile unui hexagon regulat.
-
Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
- Dacă o ecuație trigonometrică dată conține o singură funcție trigonometrică, rezolvați acea ecuație ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă o anumită ecuație include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode de rezolvare a unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării acesteia).
- Metoda 1.
- Transformați această ecuație într-o ecuație de forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, unde f(x), g(x), h(x) sunt ecuațiile trigonometrice de bază.
- Exemplul 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Soluţie. Folosind formula unghiului dublu sin 2x = 2*sin x*cos x, înlocuiți sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
- Exemplul 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Acum rezolvați cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
- Exemplul 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0 .
- Metoda 2.
- Convertiți ecuația trigonometrică dată într-o ecuație care conține o singură funcție trigonometrică. Apoi înlocuiți această funcție trigonometrică cu una necunoscută, de exemplu, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t etc.).
- Exemplul 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Soluţie. În această ecuație, înlocuiți (cos^2 x) cu (1 - sin^2 x) (în funcție de identitate). Ecuația transformată este:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Înlocuiți sin x cu t. Acum, ecuația arată astfel: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică care are două rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. A doua rădăcină t2 nu satisface domeniul de funcții (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Exemplul 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Soluţie. Înlocuiți tg x cu t. Rescrieți ecuația inițială după cum urmează: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Acum găsiți t și apoi găsiți x pentru t = tan x.
- Dacă o ecuație trigonometrică dată conține o singură funcție trigonometrică, rezolvați acea ecuație ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă o anumită ecuație include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode de rezolvare a unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării acesteia).
Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele de care aveți nevoie finalizarea cu succes Examenul de stat unificat la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate problemele 1-13 Examinare de stat unificată de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și acesta este mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza soluției sarcini complexe 2 părți ale examenului de stat unificat.
Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple”
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Manuale si simulatoare in magazinul online Integral pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”
Ce vom studia:
1. Ce sunt ecuațiile trigonometrice?
3. Două metode principale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Ecuații trigonometrice omogene.
5. Exemple.
Ce sunt ecuațiile trigonometrice?
Băieți, am studiat deja arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Acum să ne uităm la ecuațiile trigonometrice în general.
Ecuațiile trigonometrice sunt ecuații în care o variabilă este conținută sub semnul unei funcții trigonometrice.
Să repetăm forma rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice:
1)Dacă |a|≤ 1, atunci ecuația cos(x) = a are o soluție:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Dacă |a|≤ 1, atunci ecuația sin(x) = a are o soluție:
3) Dacă |a| > 1, atunci ecuația sin(x) = a și cos(x) = a nu au soluții 4) Ecuația tg(x)=a are o soluție: x=arctg(a)+ πk
5) Ecuația ctg(x)=a are o soluție: x=arcctg(a)+ πk
Pentru toate formulele k este un număr întreg
Cele mai simple ecuații trigonometrice au forma: T(kx+m)=a, T este o funcție trigonometrică.
Exemplu.Rezolvați ecuațiile: a) sin(3x)= √3/2
Soluţie:
A) Să notăm 3x=t, atunci ne vom rescrie ecuația sub forma:
Soluția acestei ecuații va fi: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Din tabelul de valori obținem: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Să revenim la variabila noastră: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Atunci x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Răspuns: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, unde n este un număr întreg. (-1)^n – minus unu la puterea lui n.
Mai multe exemple de ecuații trigonometrice.
Rezolvați ecuațiile: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3Soluţie:
A) De data aceasta, să trecem direct la calcularea rădăcinilor ecuației:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Atunci x/5= πk => x=5πk
Răspuns: x=5πk, unde k este un număr întreg.
B) O scriem sub forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Știm că: arctan(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Răspuns: x=2π/9 + πk/3, unde k este un număr întreg.
Rezolvați ecuațiile: cos(4x)= √2/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segment.
Soluţie:
Vom decide în vedere generala ecuația noastră: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Acum să vedem ce rădăcini cad pe segmentul nostru. La k La k=0, x= π/16, suntem în segmentul dat.
Cu k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, lovim din nou.
Pentru k=2, x= π/16+ π=17π/16, dar aici nu am lovit, ceea ce înseamnă că pentru k mare, evident, nu vom lovi.
Răspuns: x= π/16, x= 9π/16
Două metode principale de soluție.
Ne-am uitat la cele mai simple ecuații trigonometrice, dar există și altele mai complexe. Pentru rezolvarea acestora se utilizează metoda introducerii unei noi variabile și metoda factorizării. Să ne uităm la exemple.Să rezolvăm ecuația:
Soluţie:
Pentru a ne rezolva ecuația, vom folosi metoda introducerii unei noi variabile, notând: t=tg(x).
Ca rezultat al înlocuirii obținem: t 2 + 2t -1 = 0
Să găsim rădăcinile ecuație pătratică: t=-1 si t=1/3
Atunci tg(x)=-1 și tg(x)=1/3, obținem cea mai simplă ecuație trigonometrică, să-i găsim rădăcinile.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Răspuns: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Un exemplu de rezolvare a unei ecuații
Rezolvați ecuații: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Soluţie:
Să folosim identitatea: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Ecuația noastră va lua forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0
Să introducem înlocuirea t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Soluția ecuației noastre pătratice este rădăcinile: t=2 și t=-1/2
Atunci cos(x)=2 și cos(x)=-1/2.
Deoarece Cosinusul nu poate lua valori mai mari de unu, atunci cos(x)=2 nu are rădăcini.
Pentru cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Răspuns: x= ±2π/3 + 2πk
Ecuații trigonometrice omogene.
Definiție: Ecuațiile de forma a sin(x)+b cos(x) se numesc ecuații trigonometrice omogene de gradul I.Ecuații de formă
ecuații trigonometrice omogene de gradul doi.
Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică omogenă de gradul I, împărțiți-o la cos(x): Nu puteți împărți la cosinus dacă este egal cu zero, să ne asigurăm că nu este cazul:
Fie cos(x)=0, apoi asin(x)+0=0 => sin(x)=0, dar sinusul și cosinusul nu sunt egale cu zero în același timp, obținem o contradicție, deci putem împărți în siguranță cu zero.
Rezolvați ecuația:
Exemplu: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Soluţie:
Să scoatem factorul comun: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Apoi trebuie să rezolvăm două ecuații:
Cos(x)=0 și cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 la x= π/2 + πk;
Luați în considerare ecuația cos(x)+sin(x)=0 Împărțiți ecuația noastră la cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Răspuns: x= π/2 + πk și x= -π/4+πk
Cum se rezolvă ecuații trigonometrice omogene de gradul doi?
Băieți, respectați întotdeauna aceste reguli!
1. Vezi cu ce este egal coeficientul a, dacă a=0 atunci ecuația noastră va lua forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), un exemplu a cărui soluție este pe diapozitivul anterior
2. Dacă a≠0, atunci trebuie să împărțiți ambele părți ale ecuației la cosinusul la pătrat, obținem:
Schimbăm variabila t=tg(x) și obținem ecuația:
Rezolvați exemplul nr.:3
Rezolvați ecuația:Soluţie:
Să împărțim ambele părți ale ecuației la pătratul cosinus:
Schimbăm variabila t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Să găsim rădăcinile ecuației pătratice: t=-3 și t=1
Atunci: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Răspuns: x=-arctg(3) + πk și x= π/4+ πk
Rezolvați exemplul nr.:4
Rezolvați ecuația:Soluţie:
Să ne transformăm expresia:
Putem rezolva astfel de ecuații: x= - π/4 + 2πk și x=5π/4 + 2πk
Răspuns: x= - π/4 + 2πk și x=5π/4 + 2πk
Rezolvați exemplul nr.:5
Rezolvați ecuația:Soluţie:
Să ne transformăm expresia:
Să introducem înlocuirea tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Soluția ecuației noastre pătratice va fi rădăcinile: t=-2 și t=1/2
Atunci obținem: tg(2x)=-2 și tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Răspuns: x=-arctg(2)/2 + πk/2 și x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Probleme pentru rezolvare independentă.
1) Rezolvați ecuațiaA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7
2) Rezolvați ecuațiile: sin(3x)= √3/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segmentul [π/2; π].
3) Rezolvați ecuația: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0
4) Rezolvați ecuația: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Rezolvați ecuația: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Rezolvați ecuația: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Lecţie aplicație complexă cunoştinţe.
Obiectivele lecției.
- Considera diverse metode rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.
- Dezvoltare creativitate elevilor prin rezolvarea de ecuații.
- Încurajarea elevilor la autocontrol, control reciproc și autoanaliză a activităților lor educaționale.
Echipament: ecran, proiector, material de referință.
În timpul orelor
Conversație introductivă.
Principala metodă de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice este reducerea acestora la forma lor cea mai simplă. În acest caz, se aplică moduri obișnuite, precum factorizarea, precum și tehnicile utilizate numai pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Există destul de multe dintre aceste tehnici, de exemplu, diferite substituții trigonometrice, transformări unghiulare, transformări ale funcțiilor trigonometrice. Aplicarea fără discernământ a oricăror transformări trigonometrice de obicei nu simplifică ecuația, dar o complică catastrofal. Să te antrenezi în schiță generală plan pentru rezolvarea ecuației, schițați o modalitate de a reduce ecuația la cel mai simplu, trebuie mai întâi să analizați unghiurile - argumentele funcțiilor trigonometrice incluse în ecuație.
Astăzi vom vorbi despre metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Metoda aleasă corect poate de multe ori simplifica semnificativ soluția, așa că toate metodele pe care le-am studiat ar trebui să fie întotdeauna reținute pentru a rezolva ecuațiile trigonometrice folosind metoda cea mai potrivită.
II. (Folosind un proiector, repetăm metodele de rezolvare a ecuațiilor.)
1. Metoda de reducere a unei ecuații trigonometrice la una algebrică.
Este necesar să exprimați toate funcțiile trigonometrice printr-o singură, cu același argument. Acest lucru se poate face folosind identitatea trigonometrică de bază și consecințele acesteia. Obținem o ecuație cu o funcție trigonometrică. Luând-o ca pe o nouă necunoscută, obținem o ecuație algebrică. Îi găsim rădăcinile și ne întoarcem la vechea necunoscută, rezolvând cele mai simple ecuații trigonometrice.
2. Metoda factorizării.
Pentru a schimba unghiurile, sunt adesea utile formulele de reducere, suma și diferența de argumente, precum și formulele de conversie a sumei (diferenței) funcțiilor trigonometrice într-un produs și invers.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. Metoda introducerii unui unghi suplimentar.
4. Metoda de utilizare a substituției universale.
Ecuațiile de forma F(sinx, cosx, tanx) = 0 sunt reduse la algebrice folosind o substituție trigonometrică universală
Exprimarea sinusului, cosinusului și tangentei în termeni de tangente a unui semiunghi. Această tehnică poate duce la o ecuație de ordin superior. Soluția la care este dificilă.