Există așa ceva în matematică ca limita unei funcții. Pentru a înțelege cum să găsiți limite, trebuie să vă amintiți definiția limitei unei funcții: o funcție f (x) are o limită L într-un punct x = a dacă pentru fiecare succesiune de valori a lui x care converge către punctul a, succesiunea valorilor lui y se apropie de:
- L lim f(x) = L
Conceptul și proprietățile limitelor
Ce este o limită poate fi înțeles dintr-un exemplu. Să presupunem că avem funcția y=1/x. Dacă creștem constant valoarea lui x și ne uităm la ce este egal cu y, vom obține valori din ce în ce mai descrescătoare: la x=10000 y=1/10000; la x=1000000 y=1/1000000. Acestea. cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y. Dacă x=∞, y va fi atât de mic încât poate fi considerat egal cu 0. Astfel, limita funcției y=1/x pe măsură ce x tinde spre ∞ este egală cu 0. Se scrie astfel:
- lim1/х=0
Limita unei funcții are câteva proprietăți pe care trebuie să le rețineți: acest lucru va facilita foarte mult rezolvarea problemelor privind găsirea limitelor:
- Limită de sumă egal cu suma limite: lim(x+y)=lim x+lim y
- Limita produsului este egală cu produsul limitelor: lim(xy)=lim x*lim y
- Limita câtului este egală cu câtul limitelor: lim(x/y)=lim x/lim y
- Factorul constant este scos din semnul limită: lim(Cx)=C lim x
Funcția y=1/x, în care x →∞, are o limită egală cu zero; pentru x→0, limita este egală cu ∞.
- lim (sin x)/x=1 x→0
Concepte de limite ale secvențelor și funcțiilor. Când este necesar să se găsească limita unei secvențe, se scrie astfel: lim xn=a. Într-o astfel de succesiune de secvențe, xn tinde spre a și n tinde spre infinit. Secvența este de obicei reprezentată ca o serie, de exemplu:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Secvențele sunt împărțite în crescătoare și descrescătoare. De exemplu:
xn=n^2 - succesiune crescătoare
yn=1/n - succesiune
Deci, de exemplu, limita șirului xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0
x→∞
Această limită este egală cu zero, deoarece n→∞, iar succesiunea 1/n^2 tinde spre zero.
De obicei, o cantitate variabilă x tinde spre o limită finită a, iar x se apropie constant de a, iar mărimea a este constantă. Aceasta este scrisă după cum urmează: limx =a, în timp ce n poate tinde, de asemenea, fie spre zero, fie spre infinit. Există infinite funcții, pentru care limita tinde spre infinit. În alte cazuri, când, de exemplu, funcția încetinește un tren, este posibil ca limita să tinde spre zero.
Limitele au o serie de proprietăți. De obicei, orice funcție are o singură limită. Aceasta este proprietatea principală a limitei. Altele sunt enumerate mai jos:
* Limita sumei este egală cu suma limitelor:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Limita produsului este egală cu produsul limitelor:
lim(xy)=lim x*lim y
* Limita coeficientului este egală cu câtul limitelor:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Factorul constant este luat în afara semnului limită:
lim(Cx)=C lim x
Având în vedere o funcție 1 /x în care x →∞, limita sa este zero. Dacă x→0, limita unei astfel de funcții este ∞.
Pentru funcții trigonometrice sunt din aceste reguli. Deoarece funcția sin x tinde întotdeauna spre unitate atunci când se apropie de zero, identitatea este valabilă pentru ea:
lim sin x/x=1
Într-o serie de funcții există funcții, atunci când se calculează limitele cărora apare incertitudinea - o situație în care limita nu poate fi calculată. Singura cale de ieșire din această situație este L'Hopital. Există două tipuri de incertitudini:
* incertitudinea formei 0/0
* incertitudinea formei ∞/∞
De exemplu, este dată o limită de următoarea formă: lim f(x)/l(x) și f(x0)=l(x0)=0. În acest caz, apare o incertitudine de forma 0/0. Pentru a rezolva o astfel de problemă se diferențiază ambele funcții, după care se găsește limita rezultatului. Pentru incertitudinile de tip 0/0, limita este:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (la x→0)
Aceeași regulă este valabilă și pentru incertitudinile de tip ∞/∞. Dar în acest caz următoarea egalitate este adevărată: f(x)=l(x)=∞
Folosind regula lui L'Hopital, puteți găsi valorile oricăror limite în care apar incertitudini. O condiție prealabilă pentru
volum - fără erori la găsirea derivatelor. Deci, de exemplu, derivata funcției (x^2)" este egală cu 2x. De aici putem concluziona că:
f"(x)=nx^(n-1)
Matematica este știința care construiește lumea. Atât omul de știință, cât și omul de rând - nimeni nu se poate lipsi de el. În primul rând, copiii mici sunt învățați să numere, apoi să adună, să scadă, să înmulțească și să împartă; până la gimnaziu încep să folosească denumiri de litere, iar la vârsta înaintată nu te poți descurca fără ele.
Dar astăzi vom vorbi despre ce se bazează toată matematica cunoscută. Despre o comunitate de numere numită „limite de secvență”.
Ce sunt secvențele și unde este limita lor?
Sensul cuvântului „secvență” nu este greu de interpretat. Acesta este un aranjament de lucruri în care cineva sau ceva se află într-o anumită ordine sau coadă. De exemplu, coada pentru bilete la grădina zoologică este o secvență. Și poate fi doar unul! Dacă, de exemplu, te uiți la coada de la magazin, aceasta este o secvență. Și dacă o persoană din această coadă pleacă brusc, atunci aceasta este o altă coadă, o altă ordine.
Cuvântul „limită” este, de asemenea, ușor de interpretat - este sfârșitul a ceva. Cu toate acestea, în matematică, limitele secvențelor sunt acele valori de pe linia numerică către care tinde o secvență de numere. De ce se străduiește și nu se termină? Este simplu, linia numerică nu are sfârșit, iar cele mai multe secvențe, ca razele, au doar un început și arată astfel:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Prin urmare, definiția unei secvențe este o funcție a argumentului natural. Mai mult în cuvinte simple este o serie de membri ai unui anumit set.
Cum se construiește șirul de numere?
Cel mai simplu exemplu succesiune de numere ar putea arăta astfel: 1, 2, 3, 4, … n…
În cele mai multe cazuri, în scopuri practice, secvențele sunt construite din numere, iar fiecare membru următor al seriei, să-l notăm X, are propriul nume. De exemplu:
x 1 este primul membru al secvenței;
x 2 este al doilea termen al secvenței;
x 3 este al treilea termen;
x n este al n-lea termen.
ÎN metode practice este dată succesiunea formula generala, în care există o variabilă. De exemplu:
X n =3n, atunci seria de numere în sine va arăta astfel:
Merită să ne amintim că atunci când scrieți secvențe în general, puteți folosi orice litere latine, nu doar X. De exemplu: y, z, k etc.
Progresie aritmetică ca parte a secvențelor
Înainte de a căuta limitele secvențelor, este indicat să te afundăm mai adânc în însuși conceptul unei astfel de serii de numere, pe care toată lumea l-a întâlnit când era la gimnaziu. O progresie aritmetică este o serie de numere în care diferența dintre termenii adiacenți este constantă.
Problemă: „Fie a 1 = 15 și pasul de progresie al seriei de numere d = 4. Construiți primii 4 termeni ai acestei serii"
Rezolvare: a 1 = 15 (prin condiție) este primul termen al progresiei (seria de numere).
iar 2 = 15+4=19 este al doilea termen al progresiei.
iar 3 =19+4=23 este al treilea termen.
iar 4 =23+4=27 este al patrulea termen.
Cu toate acestea, folosind această metodă este dificil să se ajungă la valori mari, de exemplu până la 125. . În special pentru astfel de cazuri, a fost derivată o formulă convenabilă pentru practică: a n =a 1 +d(n-1). În acest caz, a 125 =15+4(125-1)=511.
Tipuri de secvențe
Cele mai multe dintre secvențe sunt nesfârșite, merită amintit pentru tot restul vieții. Sunt două aspect interesant serie de numere. Primul este dat de formula a n =(-1) n. Matematicienii numesc adesea această secvență un fulger. De ce? Să verificăm seria de numere.
1, 1, -1, 1, -1, 1 etc. Cu un exemplu ca acesta, devine clar că numerele din secvențe pot fi ușor repetate.
Succesiunea factorială. Este ușor de ghicit - formula care definește secvența conține un factorial. De exemplu: a n = (n+1)!
Apoi secvența va arăta astfel:
a 2 = 1x2x3 = 6;
și 3 = 1x2x3x4 = 24 etc.
O secvență definită printr-o progresie aritmetică se numește infinit descrescătoare dacă inegalitatea -1 este satisfăcută pentru toți termenii săi și 3 = - 1/8 etc. Există chiar și o secvență formată din același număr. Deci, n =6 este format dintr-un număr infinit de șase. Limitele secvenței au existat de mult în matematică. Desigur, merită propriul lor design competent. Deci, este timpul să învățați definiția limitelor secvenței. Mai întâi, să ne uităm la limita pentru o funcție liniară în detaliu: Este ușor de înțeles că definiția limitei unei secvențe poate fi formulată astfel: acesta este un anumit număr de care toți membrii secvenței se apropie la infinit. Un exemplu simplu: a x = 4x+1. Apoi secvența în sine va arăta astfel. 5, 9, 13, 17, 21…x… Astfel, această secvență va crește la infinit, ceea ce înseamnă că limita sa este egală cu infinitul ca x→∞ și ar trebui scrisă astfel: Dacă luăm o secvență similară, dar x tinde spre 1, obținem: Și seria de numere va fi astfel: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 etc. De fiecare dată trebuie să înlocuiți numărul mai aproape de unul (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Din această serie este clar că limita funcției este cinci. Din această parte, merită să ne amintim care este limita unei secvențe numerice, definiția și metoda de rezolvare a problemelor simple. După ce ați examinat limita unei secvențe de numere, definiția și exemplele acesteia, puteți trece la un subiect mai complex. Absolut toate limitele secvențelor pot fi formulate printr-o singură formulă, care este de obicei analizată în primul semestru. Deci, ce înseamnă acest set de litere, module și semne de inegalitate? ∀ este un cuantificator universal, înlocuind expresiile „pentru toți”, „pentru tot”, etc. ∃ este un cuantificator existențial, în acest caz înseamnă că există o valoare N care aparține mulțimii numerelor naturale. Un baston vertical lung după N înseamnă că setul dat N este „astfel încât”. În practică, poate însemna „astfel care”, „astfel care”, etc. Pentru a consolida materialul, citiți formula cu voce tare. Metoda de găsire a limitei secvențelor, care a fost discutată mai sus, deși simplă de utilizat, nu este atât de rațională în practică. Încercați să găsiți limita pentru această funcție: Dacă înlocuim diferite valori ale lui „x” (crescând de fiecare dată: 10, 100, 1000 etc.), atunci obținem ∞ la numărător, dar și ∞ la numitor. Rezultă o fracție destul de ciudată: Dar este chiar așa? Calcularea limitei unei secvențe de numere în acest caz pare destul de ușoară. Ar fi posibil să lăsați totul așa cum este, pentru că răspunsul este gata și a fost primit în condiții rezonabile, dar există o altă cale specială pentru astfel de cazuri. Mai întâi, să găsim cel mai înalt grad în numărătorul fracției - acesta este 1, deoarece x poate fi reprezentat ca x 1. Acum să găsim cel mai înalt grad în numitor. De asemenea 1. Să împărțim atât numărătorul cât și numitorul la variabila la cel mai înalt grad. În acest caz, împărțiți fracția la x 1. În continuare, vom afla la ce valoare tinde fiecare termen care conține o variabilă. În acest caz, sunt luate în considerare fracțiile. Ca x→∞, valoarea fiecărei fracții tinde spre zero. Când trimiteți lucrarea în scris, ar trebui să faceți următoarele note de subsol: Rezultă următoarea expresie: Desigur, fracțiile care conțin x nu au devenit zero! Dar valoarea lor este atât de mică încât este complet permis să nu o luăm în considerare în calcule. De fapt, x nu va fi niciodată egal cu 0 în acest caz, deoarece nu puteți împărți la zero. Să presupunem că profesorul are la dispoziție o succesiune complexă, dată, evident, de o formulă la fel de complexă. Profesorul a găsit răspunsul, dar este corect? La urma urmei, toți oamenii fac greșeli. Auguste Cauchy a venit odată cu o modalitate excelentă de a demonstra limitele secvențelor. Metoda lui se numea manipulare de cartier. Să presupunem că există un anumit punct a, vecinătatea lui în ambele direcții pe dreapta numerică este egală cu ε („epsilon”). Deoarece ultima variabilă este distanța, valoarea ei este întotdeauna pozitivă. Acum să definim o secvență x n și să presupunem că al zecelea termen al șirului (x 10) este inclus în vecinătatea lui a. Cum putem scrie acest fapt în limbaj matematic? Să presupunem că x 10 este la dreapta punctului a, apoi distanța x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Acum este timpul să explicăm în practică formula discutată mai sus. Este corect să numim un anumit număr punctul final al unei secvențe dacă pentru oricare dintre limitele sale inegalitatea ε>0 este satisfăcută și întreaga vecinătate are propriul său număr natural N, astfel încât toți membrii șirului cu numere mai mari. va fi în interiorul șirului |x n - a|< ε. Cu astfel de cunoștințe este ușor să rezolvi limitele secvenței, să dovedești sau să infirmi răspunsul gata făcut. Teoremele privind limitele secvențelor sunt o componentă importantă a teoriei, fără de care practica este imposibilă. Există doar patru teoreme principale, amintindu-ne care pot face rezolvarea sau demonstrarea mult mai ușoară: Uneori trebuie să rezolvați o problemă inversă, pentru a demonstra o limită dată a unei secvențe numerice. Să ne uităm la un exemplu. Demonstrați că limita șirului dată de formulă este zero. Conform regulii discutate mai sus, pentru orice succesiune inegalitatea |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Să exprimăm n prin „epsilon” pentru a arăta existența unui anumit număr și a demonstra prezența unei limite a șirului. În acest moment, este important să ne amintim că „epsilon” și „en” sunt numere pozitive și nu sunt egale cu zero. Acum este posibilă continuarea transformărilor ulterioare folosind cunoștințele despre inegalități dobândite în liceu. Cum se dovedește că n > -3 + 1/ε. Deoarece merită să ne amintim că vorbim despre numere naturale, rezultatul poate fi rotunjit punându-l între paranteze drepte. Astfel, s-a dovedit că pentru orice valoare a vecinătății „epsilon” a punctului a = 0 s-a găsit o valoare astfel încât inegalitatea inițială să fie satisfăcută. De aici putem spune cu siguranță că numărul a este limita unei secvențe date. Q.E.D. Această metodă convenabilă poate fi folosită pentru a demonstra limita unei secvențe numerice, indiferent cât de complexă ar fi aceasta la prima vedere. Principalul lucru este să nu intrați în panică când vedeți sarcina. Existența unei limite de consistență nu este necesară în practică. Puteți întâlni cu ușurință serii de numere care într-adevăr nu au sfârșit. De exemplu, aceeași „lumină intermitentă” x n = (-1) n. este evident că o succesiune formată din doar două cifre, repetată ciclic, nu poate avea o limită. Aceeași poveste se repetă cu secvențe formate dintr-un număr, fracțional, având incertitudinea oricărei ordine în timpul calculelor (0/0, ∞/∞, ∞/0 etc.). Cu toate acestea, trebuie amintit că apar și calcule incorecte. Uneori, verificarea propriei soluții vă va ajuta să găsiți limita de secvență. Mai sus au fost discutate mai multe exemple de secvențe și metode de rezolvare a acestora, iar acum să încercăm să luăm un caz mai specific și să-l numim „secvență monotonă”. Definiție: orice succesiune poate fi numită pe bună dreptate crescătoare dacă inegalitatea strictă x n este valabilă pentru ea< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Alături de aceste două condiții, există și inegalități similare nestrictive. În consecință, x n ≤ x n +1 (secvență nedescrescătoare) și x n ≥ x n +1 (secvență necrescătoare). Dar este mai ușor de înțeles acest lucru cu exemple. Secvența dată de formula x n = 2+n formează următoarea serie de numere: 4, 5, 6 etc. Aceasta este o succesiune crescătoare monoton. Și dacă luăm x n =1/n, obținem seria: 1/3, ¼, 1/5 etc. Aceasta este o succesiune monotonă descrescătoare. O secvență mărginită este o secvență care are o limită. O secvență convergentă este o serie de numere care are o limită infinitezimală. Astfel, limita unei secvențe mărginite este orice număr real sau complex. Amintiți-vă că poate exista o singură limită. Limita unei secvențe convergente este o mărime infinitezimală (reala sau complexă). Dacă desenați o diagramă de secvență, atunci la un anumit punct va părea că converge, tinde să se transforme într-o anumită valoare. De aici și numele - succesiune convergentă. Poate fi sau nu o limită pentru o astfel de secvență. În primul rând, este util să înțelegeți când există; de aici puteți începe când dovediți absența unei limite. Dintre secvențele monotone se disting convergente și divergente. Convergent este o secvență care este formată din mulțimea x și are o limită reală sau complexă în această mulțime. Divergent este o secvență care nu are limită în mulțimea sa (nici reală, nici complexă). Mai mult, șirul converge dacă, într-o reprezentare geometrică, limitele ei superioare și inferioare converg. Limita unei secvențe convergente poate fi zero în multe cazuri, deoarece orice succesiune infinitezimală are o limită cunoscută (zero). Indiferent de secvența convergentă pe care o luați, toate sunt mărginite, dar nu toate secvențele mărginite converg. Suma, diferența, produsul a două secvențe convergente este, de asemenea, o secvență convergentă. Totuși, coeficientul poate fi și convergent dacă este definit! Limitele secvenței sunt la fel de semnificative (în majoritatea cazurilor) ca cifrele și numerele: 1, 2, 15, 24, 362 etc. Se dovedește că unele operații pot fi efectuate cu limite. În primul rând, la fel ca cifrele și numerele, limitele oricărei secvențe pot fi adăugate și scăzute. Pe baza celei de-a treia teoreme privind limitele șirurilor, se respectă următoarea egalitate: limita sumei șirurilor este egală cu suma limitelor lor. În al doilea rând, pe baza celei de-a patra teoreme privind limitele șirurilor, următoarea egalitate este adevărată: limita produsului celui de-al n-lea număr de secvențe este egală cu produsul limitelor acestora. Același lucru este valabil și pentru împărțire: limita câtului a două secvențe este egală cu câtul limitelor lor, cu condiția ca limita să nu fie zero. La urma urmei, dacă limita secvențelor este egală cu zero, atunci va rezulta împărțirea la zero, ceea ce este imposibil. S-ar părea că limita șirului numeric a fost deja discutată în detaliu, dar expresii precum numere „infinit de mici” și „infinit de mari” sunt menționate de mai multe ori. Evident, dacă există o secvență 1/x, unde x→∞, atunci o astfel de fracție este infinitezimală, iar dacă aceeași secvență, dar limita tinde spre zero (x→0), atunci fracția devine o valoare infinit de mare. Și astfel de cantități au propriile lor caracteristici. Proprietățile limitei unei secvențe având orice valori mici sau mari sunt următoarele: De fapt, calcularea limitei unei secvențe nu este o sarcină atât de dificilă dacă cunoașteți un algoritm simplu. Dar limitele consecvenței sunt un subiect care necesită atenție și perseverență maximă. Desigur, este suficient să înțelegem pur și simplu esența soluției la astfel de expresii. Începând de la mic, poți atinge înălțimi mari în timp. Soluţie limitele funcției online. Găsiți valoarea limită a unei funcții sau a secvenței funcționale într-un punct, calculați final valoarea funcției la infinit. determinarea convergenței unei serii de numere și multe altele se poate face datorită serviciului nostru online -. Vă permitem să găsiți limitele funcțiilor online rapid și precis. Dumneavoastră introduceți variabila funcție și limita la care tinde aceasta, iar serviciul nostru efectuează toate calculele pentru dvs., oferind un răspuns precis și simplu. Si pentru găsirea limitei online puteți introduce atât serii numerice, cât și funcții analitice care conțin constante în expresie literală. În acest caz, limita găsită a funcției va conține aceste constante ca argumente constante în expresie. Serviciul nostru rezolvă orice probleme complexe de găsire limite online, este suficient să indicați funcția și punctul în care este necesar să se calculeze valoarea limită a funcției. De calculat limitele online, puteți folosi diverse metode și reguli de rezolvare a acestora, verificând în același timp rezultatul obținut cu rezolvarea limitelor online pe www.site-ul, ceea ce va duce la îndeplinirea cu succes a sarcinii - veți evita propriile greșeli și erori de scris. Sau puteți avea încredere completă în noi și folosiți rezultatul nostru în munca dvs., fără a cheltui efort și timp suplimentar pentru a calcula în mod independent limita funcției. Permitem introducerea de valori limită, cum ar fi infinitul. Este necesar să introduceți un membru comun al unei secvențe de numere și www.site va calcula valoarea limita online la plus sau minus infinit. Unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice este limita functieiȘi limită de secvență la un punct și la infinit, este important să poți rezolva corect limite. Cu serviciul nostru acest lucru nu va fi dificil. Se ia o decizie limite onlineîn câteva secunde, răspunsul este corect și complet. Studiul analizei matematice începe cu trecerea la limită, limite sunt folosite în aproape toate domeniile matematicii superioare, așa că este util să aveți un server la îndemână pentru soluții limită online, care este site-ul. Să ne uităm la câteva exemple ilustrative. Fie x o variabilă numerică, X aria modificării acesteia. Dacă fiecare număr x aparținând lui X este asociat cu un anumit număr y, atunci se spune că o funcție este definită pe mulțimea X și se scrie y = f(x). Mulțimea Y a tuturor valorilor parțiale ale unei funcții se numește mulțime de valori f(x). Cu alte cuvinte, setul de valori este intervalul de-a lungul axei 0Y unde este definită funcția. Parabola ilustrată arată clar că f(x) > 0, deoarece x2 > 0. Prin urmare, intervalul de valori va fi . Ne uităm la multe valori cu 0Y. Mulțimea tuturor x se numește domeniul lui f(x). Ne uităm la multe definiții prin 0X și în cazul nostru intervalul de valori acceptabile este [-; +]. Un punct a (a aparține lui sau X) se numește punct limită al mulțimii X dacă în orice vecinătate a punctului a există puncte ale mulțimii X diferite de a. A sosit momentul să înțelegem care este limita unei funcții? Se numește b pur la care funcția tinde așa cum x tinde către numărul a limita functiei. Aceasta este scrisă după cum urmează: De exemplu, f(x) = x 2. Trebuie să aflăm la ce tinde funcția (nu este egală cu) la x 2. Mai întâi, notăm limita: Să ne uităm la grafic. Să desenăm o linie paralelă cu axa 0Y prin punctul 2 de pe axa 0X. Acesta va intersecta graficul nostru în punctul (2;4). Să aruncăm o perpendiculară din acest punct pe axa 0Y și să ajungem la punctul 4. Acesta este ceea ce se străduiește funcția noastră la x 2. Dacă acum înlocuim valoarea 2 în funcția f(x), răspunsul va fi același . Acum înainte să trecem la calculul limitelor, să introducem definițiile de bază. Introdus de matematicianul francez Augustin Louis Cauchy în secolul al XIX-lea. Să presupunem că funcția f(x) este definită pe un anumit interval care conține punctul x = A, dar nu este deloc necesar ca valoarea lui f(A) să fie definită. Apoi, conform definiției lui Cauchy, limita functiei f(x) va fi un anumit număr B cu x tinde spre A dacă pentru fiecare C > 0 există un număr D > 0 pentru care Acestea. dacă funcția f(x) la x A este limitată de limita B, aceasta se scrie sub forma Limită de secvență un anumit număr A este numit dacă pentru orice număr pozitiv arbitrar mic B > 0 există un număr N pentru care toate valorile în cazul n > N satisfac inegalitatea Această limită arată ca. O secvență care are o limită va fi numită convergentă; dacă nu, o vom numi divergentă. După cum ați observat deja, limitele sunt indicate de pictograma lim, sub care este scrisă o anumită condiție pentru variabilă și apoi este scrisă funcția în sine. Un astfel de set va fi citit ca „limita unei funcții supuse...”. De exemplu: Expresia „apropiindu-se de 1” înseamnă că x ia succesiv valori care se apropie de 1 infinit apropiat. Acum devine clar că pentru a calcula această limită este suficient să înlocuiți valoarea 1 cu x: Pe lângă o anumită valoare numerică, x poate tinde și spre infinit. De exemplu: Expresia x înseamnă că x crește constant și se apropie de infinit fără limită. Prin urmare, înlocuind infinitul în loc de x, devine evident că funcția 1-x va tinde spre , dar cu semnul opus: Prin urmare, calculul limitelor se rezumă la găsirea valorii sale specifice sau a unei anumite zone în care se încadrează funcția limitată de limită. Pe baza celor de mai sus, rezultă că atunci când se calculează limitele este important să se folosească mai multe reguli: Înţelegere esența limiteiși reguli de bază calcule limită, veți obține informații cheie despre cum să le rezolvați. Dacă vreo limită îți provoacă dificultăți, atunci scrie în comentarii și cu siguranță te vom ajuta. Notă: Jurisprudența este știința legilor, care ajută în conflicte și alte dificultăți ale vieții.Determinarea limitei secvenței
Denumirea generală a limitei secvenţelor
Incertitudinea și certitudinea limitei
Ce este un cartier?
Teoreme
Dovada secvențelor
Sau poate nu este acolo?
Secvență monotonă
Limita unei secvențe convergente și mărginite
Limita unei secvențe monotone
Diverse acțiuni cu limite
Proprietăți ale mărimilor de succesiune
Setul X în acest caz este un plan format din două axe de coordonate - 0X și 0Y. De exemplu, să descriem funcția y = x 2. Axele 0X și 0Y formează X - aria modificării sale. Figura arată clar cum se comportă funcția. În acest caz, ei spun că funcția y = x 2 este definită pe mulțimea X.- limita funcției pe măsură ce x tinde spre 1.